HT
6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
31 tháng 3 2018
a+bc/b+c + b+ca/c+a + c+ab/a+b
ta có: a+bc/c+b = a+(1-a-c).c/(1-a-c)+c = a+c-ac-c^2/1-a = (a+c)-c(a+c)/1-a = (a+c)(1-c)/1-a = (1-b)(1-c)/1-a
tương tự với các phân số còn lại:
ta đc:H=(1-b)(1-c)/1-a + (1-a)(1-c)/1-b + (1-a)(1-b)/1-c
đặt 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z =>
yz/x + xz/y + xy/z
áp dụng bđt cô-sin =>
yz/x + xz/y >= 2 căn yz/x . xz/y=2z
tương tự => xz/y + xy/z >= 2x và xy/z + yz/x >= 2y
=> 2H >= 2(x+y+z) = 2(1-a + 1-b + 1-c)=2(3 - (a+b+c))=2(3-1)=2.2=4
=> H>= 2
=> bt trên >= 2
31 tháng 3 2018
a+bc/b+c + b+ca/c+a + c+ab/a+b ta có: a+bc/c+b = a+(1-a-c).c/(1-a-c)+c = a+c-ac-c^2/1-a = (a+c)-c(a+c)/1-a = (a+c)(1-c)/1-a = (1-b)(1-c)/1-a tương tự với các phân số còn lại: ta đc:H=(1-b)(1-c)/1-a + (1-a)(1-c)/1-b + (1-a)(1-b)/1-c đặt 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z => yz/x + xz/y + xy/z áp dụng bđt cô-sin => yz/x + xz/y >= 2 căn yz/x . xz/y=2z tương tự => xz/y + xy/z >= 2x và xy/z + yz/x >= 2y => 2H >= 2(x+y+z) = 2(1-a + 1-b + 1-c)=2(3 - (a+b+c))=2(3-1)=2.2=4 => H>= 2 => bt trên >= 2
YY
4 tháng 5 2018
áp dụng bất đẳng thức buinhia
\(\left(a+b+c\right)^2\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\le a^2+b^2+c^2\)
FF
4 tháng 5 2018
Ta có : \(\left(a^2-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)
Tương tự : \(b^2+\frac{1}{4}\ge b\) và \(c^2+\frac{1}{4}\ge c\)
Cộng vế theo vế ta được : \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
17 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1
Có: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)( bạn tự c/m nhé )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{36}\ge\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1 ( bạn tự giải rõ ra nhé )
1 tháng 5 2020
Giả sử \(a\ge b\ge c\)
Ta có:\(\frac{a+b}{ab+c^2}+\frac{b+c}{bc+a^2}+\frac{c+a}{ca+b^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ac+bc-ab-c^2}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{ab+ac-bc-a^2}{\left(bc+a^2\right)a}+\frac{cb+ab-ca-b^2}{b\left(ca+b^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(bc+a^2\right)a}+\frac{\left(c-b\right)\left(b-a\right)}{b\left(ca+b^2\right)}\le0\)
Ta có:\(\left(c-b\right)\left(b-a\right)\ge0;\left(b-a\right)\left(a-c\right)\le0;\left(a-c\right)\left(c-b\right)\le0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}{b\left(ca+b^2\right)}\le\frac{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}{c\left(ab+c^2\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{\left(c-b\right)\left(b-a\right)}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(bc+a^2\right)a}\)
\(=\frac{-\left(c-b\right)^2}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(bc+a^2\right)c}\le0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
5 tháng 5 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\left|b\right|=2b\)( vì b > 0 )
Tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\); \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)
Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
5 tháng 5 2021
Giả sử ta phải chứng minh: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\left(a,b,c>0\right)\).
\(\Leftrightarrow\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+\frac{2ab.bc}{ac}+\frac{2bc.ca}{ab}+\frac{2ca.ab}{cb}\ge\)\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+2b^2+2c^2+2a^2-a^2-b^2-c^2\ge\)\(2ab+2bc+2ca\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\left(1\right)\).
Vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+c^2\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{c^2}.c^2}=2ab\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{b^2c^2}{a^2}+a^2\ge2bc\left(a,b,c>0\right)\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{c^2a^2}{b^2}+b^2\ge2ca\left(4\right)\).
Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\).
Do đó bất đẳng thức đã được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c>0\).
Vậy \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)với \(a,b,c>0\).
\(a^2+\frac{b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow4a^2+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)^2\ge0\)(lôn đúng )
vậy BĐT ĐƯỢC C/M
\(a^2+\frac{b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow4a^2+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)^2\ge0\)( \(Bđt\)\(này\)\(luôn\)\(đúng\))
\(Vậy\) \(a^2+\frac{b^2}{4}\ge ab\)(dấu bằng xảy ra khi \(2a=b\))