Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)
Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)
Cái này không khó :v
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{a+c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Face khác ;v, theo AM-GM, ta có
\(\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2
ko dùng điều kiện :)
\(sigma\sqrt{\frac{1+a^2}{b+c}}\ge sigma\frac{a+1}{\sqrt{2\left(b+c\right)}}\ge sigma\frac{2\left(a+1\right)}{b+c+2}=sigma\left(\frac{2a^2}{ab+ca+2a}+\frac{2}{b+c+2}\right)\)
\(\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)}+\frac{18}{2\left(a+b+c\right)+6}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)}+\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{a+b+c+3}+\frac{9}{a+b+c+3}=3\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a^2+ab-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\le a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\le b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\\\frac{c^2}{a+c}\le c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\end{cases}}\)(2)
Nhhan (1);(2) lại ta được
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge a+b+c-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=a+b+c-3\)
Ta lại có : \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{bc}=6\) (tự cm)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge6-3=3\)(đpcm)
\(P=\sum\frac{a+1}{b^2+1}=\sum\left(a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\right)\ge\sum\left(a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\right)=\sum\left(a+1-\frac{1}{2}b\left(a+1\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)+3\)
\(P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2+3=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đặt \(\frac{a}{b}=t\)
Ta có:\(t^2+\frac{1}{t^2}+4\ge3\left(t+\frac{1}{t}\right)\)
\(\Leftrightarrow t^2+\frac{1}{t^2}+4-3t-\frac{3}{t}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t^2-2t+1\right)+\left(\frac{1}{t^2}-\frac{3}{t}+1\right)+2-t-\frac{1}{t}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2+\left(\frac{1}{t}-1\right)^2+1-t-\frac{1}{t}+t\cdot\frac{1}{t}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2+\left(\frac{1}{t}-1\right)^2+\left(t-1\right)\left(\frac{1}{t}-1\right)\ge0\)
Đặt \(\left(t-1;\frac{1}{t}-1\right)\rightarrow\left(p,q\right)\)
Ta có:
\(p^2+q^2+pq\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(p^2+pq+\frac{q^2}{4}\right)+\frac{3q^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(p+\frac{q}{2}\right)^2+\frac{3q^2}{4}\ge0\) *luôn đúng*