Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Đặt \(A=a^2+b^2+c^2+abc\)
Dựa theo điều kiện \(a+b+c=0\) ta suy ra:
\(A=a^2+b^2+(-a-b)^2+ab(-a-b)\)
\(=a^2+b^2+(a+b)^2-ab(a+b)=2(a+b)^2-2ab-ab(a+b)\)
\(A=2(a+b)^2-ab(a+b+2)(1)\)
Vì \(a,b\leq 2\Rightarrow (a-2)(b-2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab+4\geq 2(a+b)\Leftrightarrow ab\geq 2(a+b-2)(*)\)
Do \(a+b+2=2-c\geq 0\) nên nhân cả hai vế của $(*)$ với \(a+b+2\) thì BĐT không đổi chiều. Tức là:
\(ab(a+b+2)\geq 2(a+b-2)(a+b+2)=2[(a+b)^2-4](2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow A\leq 2(a+b)^2-2[(a+b)^2-4]=8\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi ít nhất một trong 3 số $a,b,c$ có một số bằng $2$
Do \(x,y\inℤ^+\) nên \(x,y\ge1\)
\(2^x+1=3^y\).Dễ thấy \(x\le y\).Đặt \(y=x+m\left(m\ge0\right)\) và \(m=y-x\)
Ta có: \(2^x+1=3^{x+m}\)
+Với \(x=y=1\Rightarrow2^1+1=3^{1+0}\left(TM\right)\)
+Với \(1\le x< y\Rightarrow3\le2^x+1< 2^y+1< 3^y\left(KTM\right)\)
Vậy \(x=y=1\) (p/s: không chắc cho lắm,tui mới học lớp 7 thoy)
Đặt 1-a =x \(\ge0\) ; 1 -b =y\(\ge0\) ; 1 - c =z\(\ge0\)
=> a+b+c =2 <=> x+y+z =1
\(a^2+b^2+c^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=3-2\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=1+\left(x^2+y^2+z^2\right)=1+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le2\)
dấu = xay ra khi x =y =0; z =1 hoặc x=z =0 ; y =1 hoạc y=z =0 ; x =1
hay a=b =1; c =0 hoạc ..................................................
b) ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+y\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
- Thay \(x^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow\)\(2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|x+y\right|\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
- Áp dụng bđt: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
có: \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\) (1)
- Áp dụng tiếp bđt trên
có: \(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge a^2bc+ab^2c+c^2ab\) (2)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (3)
(1),(2),(3)\(\Rightarrow\) \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
+) a2+b2+c2\(\ge\)3
Đặt a-1 =x , b-1 =y,c-1=z
\(\Rightarrow\)x,y,z \(\in\)[-1;1] và x+y+z=0
pttt: (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)....\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+2(x+y+z)+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2\(\ge\)0 (luôn đúng với mọi x,y,z)
+)a2+b2+c2\(\le\)5
Ta có a,b,c\(\in\)[0;2]\(\Rightarrow\)2-a\(\ge\)0 , 2-b\(\ge\)0 , 2-c\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)(2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2ab+2ac+2bc\(\ge\)4(a+b+c)+abc-8
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)12 + abc -8=4+abc (vì a+b+c=3)
Mà 4+abc\(\ge\)4 (vì a,b,c\(\in\)[0;2])
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)4
\(\Leftrightarrow\)(a+b+c)2\(\ge\)4 +a2+b2+c2
mà a+b+c=3
\(\Leftrightarrow\)a2+b2+c2\(\le\)33-4=5
Dấu '=' xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,2)và hoán vị vòng quanh
Vậy bdt được cm