Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a ,b ,c ,d > 0 Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\) với a , b > 0 ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a\left(d+a\right)+c\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}=\frac{ad+a^2+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}\ge\frac{4\left(ad+a^2+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\) ( 1 )
\(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+d\left(c+d\right)}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}=\frac{ab+b^2+cd+d^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\frac{4\left(ab+b^2+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) cộng theo từng vế:
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Cần chứng minh rằng \(\frac{\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow2ab+2bc+2cd+2ad+2a^2+2b^2+2c^2+2d^2\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2cd+2bd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ac+2bd\)
\(\Rightarrow a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\frac{ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge2\)
Vì \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
+ \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\) (1)
+ Ta c/m : Nếu \(\frac{m}{n}< 1\) thì \(\frac{m}{n}< \frac{m+x}{n+x}\)
+ Ta có : \(\frac{m}{n}< 1\Leftrightarrow m< n\Leftrightarrow mx< nx\) ( m,n,x > 0 )
\(\Leftrightarrow mn+mx< mn+nx\Leftrightarrow m\left(n+x\right)< n\left(m+x\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{m}{n}< \frac{m+x}{n+x}\)
Áp dụng kết quả trên :
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{a+b}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{a+b+c+d}\) \(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\) (2)
+ Từ (1) và (2) => đpcm
Cho a ,b ,c ,d > 0 Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
Áp dụng BĐT bunhiacopxki cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{a}.\sqrt{b+c};\sqrt{b}.\sqrt{d+c};\sqrt{c}.\sqrt{d+a};\sqrt{d}.\sqrt{a+b}\right)\)
và \(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}};\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{d+c}};\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d+a}};\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{a+b}}\right)\), ta được:
\(\left[a\left(b+c\right)+b\left(d+c\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\right]\)\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{d+c}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}\right)\)\(\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{d+c}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+ac+bd+bc+cd+ac+ad+bd}\)(1)
Ta có \(\left(a+b+c+d\right)^2\ge2\left(ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Do đó: \(\left(a+b+c+d\right)^2\ge2\left(ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\right)\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d
Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)với x,y > 0
Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(a+d\right)}\ge\frac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Tương tự : \(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Cần chứng minh : \(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi a = c ; b = d
Vậy ....
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel và BĐT AM - GM ta có :
\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ac}+\frac{d^2}{ad+bd}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ad+bc+cd+ab+2ac+2bd}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(2ad+2bc+2cd+2ab+2ac+2bd\right)+2ac+2bd}\)
\(\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(2ad+2bc+2cd+2ab+2ac+2bd\right)+a^2+b^2+c^2+^2}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d
Chúc bạn học tốt !!!
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Ta có: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{d+1}\\\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{b}{b+1}=\frac{1}{b+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{c+1}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{b+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\end{matrix}\right.\)
Nhân từng vế:
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge81abcd\)
Vậy \(abcd\le\frac{1}{81}\left(đpcm\right)\)
p/s : lí do tớ tự trả lời câu hỏi của mình là để coi câu trả lời của mình có đúng hay ko thôi nha , mong các bạn đứng có hiểu lầm , nếu bạn nào có cách nào nhanh và gọn hơn thì phiền các bạn chỉ dùm luôn nha.
Mình nghĩ cách làm của bạn là ok rồi đấy
Bản chất là ngắn, có điều bạn trình bày quá cẩn thận nên khiến nó dài thôi. Khuyên chân thành là nếu đi thi sau khi áp dụng quy tắc "tương tự" để đỡ tốn thời gian hơn, cũng k bị mất điểm.
Ta có: \(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\)
\(=\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)
\(\ge\left(a+c\right)\cdot\frac{4}{a+b+c+d}+\left(b+d\right)\cdot\frac{4}{a+b+c+d}\)
\(=\left(a+b+c+d\right)\cdot\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = d