Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
\(2a+\frac{4}{a}+\frac{16}{a+2}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left[\left(a+2\right)+\frac{16}{a+2}\right]-2\ge4+8-2=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2
2)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a\left(1-4a\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4a\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4a+1-4a}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{b\left(1-4b\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4b+1-4b}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{c\left(1-4c\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4c\left(1-4c\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4c+1-4c}{2}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(1-4a\right)}+\sqrt{b\left(1-4b\right)}+\sqrt{c\left(1-4c\right)}\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\)
Đề bài có vấn đề nho nhỏ, thay điểm rơi vào thì vế phải thừa bình phương trong ngoặc
Áp dụng Holder:
\(\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(4+\frac{1}{4}\right)\left(4+\frac{1}{4}\right)\ge\left(\sqrt[3]{16a^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{16b^2}}\right)^3\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{17^2\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)}\ge4\sqrt[3]{4a^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}\)
\(\Rightarrow P=\sqrt[3]{17^2}.S\ge4\sqrt[3]{4}\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}\right)+\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c^2}}\)
\(P=\frac{15}{\sqrt[3]{16}}\sum\sqrt[3]{a^2}+\sum\left(\sqrt[3]{\frac{a^2}{16}}+\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\right)\)
Ta có: \(3\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{4}\ge4\sqrt[12]{4a^6}=4\sqrt[6]{2}.\sqrt{a}\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow\sum\sqrt[3]{a^2}\ge\frac{4\sqrt[6]{2}\sum\sqrt{a}-3\sqrt[3]{4}}{3}\ge3\sqrt[3]{4}\)
\(\sum\left(\sqrt[3]{\frac{a^2}{16}}+\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\right)\ge6\sqrt[6]{\frac{1}{16}}=\frac{6}{\sqrt[3]{4}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{15}{\sqrt[3]{16}}.3\sqrt[3]{4}+\frac{6}{\sqrt[3]{4}}=\frac{51}{\sqrt[3]{4}}=3.\sqrt[3]{\frac{17^3}{4}}\)
\(\Rightarrow S\ge3\sqrt[3]{\frac{17^3}{4}}:\sqrt[3]{17^2}=3\sqrt[3]{\frac{17}{4}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Bài toán nhạt nhẽo, chẳng có gì ngoài tính trâu, lần sau xin né :(
