Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(*) (luôn đúng)
=> ĐPCM.
c) áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương a và b , ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\text{ va }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
dấu "=" xảy ra khi <=> a = b.
P/s: bn tự làm nốt câu b) d) đi nha!
câu 1 là :từ a/x + b/y + c/z =0 suy ra (ayz+bxz+cxy)/xyz =0 suy ra ayz+bxz+cxy=0 (1)
vì x/a + y/b + z/c =1 (gt) suy ra (x/a + y/b + z/c )^2 = 1^2 . suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2(xy/ab + yz/bc + xz/ac) =1
suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2[(ayz+bxz+cxy)/abc = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 =1 (đpcm)
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\) thì \(x=ak;y=bk;z=ck\)
Khi đó \(xy+yz+zx=abk^2+ack^2+bck^2=k^2\left(ab+bc+ac\right)\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) ta có : \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
hay \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1.\)
Do \(\left(2\right)\) nên \(2ab+2ac+2bc=0\) tức là \(ab+bc+ac=0\)
Thay vào \(\left(4\right)\) được \(xy+yz+zx=0\).
b)\(\frac{x^2-25}{5x-x^2}\)=\(\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x\left(5-x\right)}\)=\(\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{-x\left(x-5\right)}\)=\(\frac{-x-5}{x}\)
c)\(\frac{y^2-xy}{4xy-4y^2}\)=\(\frac{y\left(y-x\right)}{4y\left(x-y\right)}=\frac{-y\left(x-y\right)}{4y\left(x-y\right)}=\frac{-1}{4}\)
d)\(\frac{x^2+xz-xy-yz}{x^2+xz+xy+yz}=\frac{x\left(x+z\right)-y\left(x+z\right)}{x\left(x+z\right)+y\left(x+z\right)}=\frac{\left(x+z\right)\left(x-y\right)}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}=\frac{x-y}{x+y}\)
ĐK: x;y;z\(\ne0\)
a + b + c = => (a + b + c)2 = 1
=> a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 1
Theo đề bài lại có: a2 + b2 + c2 = 1
Do đó 2(ab + bc + ca) = 0
<=> ab + bc + ca = 0
Ta có: \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}=\frac{ab}{xy}=\frac{bc}{yz}=\frac{ac}{xz}\) (*)
+ Nếu xy + yz + xz = 0, ta có đpcm
+ Nếu \(xy+yz+xz\ne0\)
Áp dụng t/c của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a^2}{x^2}=\frac{ab}{xy}=\frac{bc}{yz}=\frac{ca}{xz}=\frac{ab+bc+ca}{xy+yz+xz}=0\)\(\Rightarrow a=b=c=0\)
=> a + b + c = 0, mâu thuẫn với đề
Vậy ta có đcpm