N
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
0
LD
0
KN
24 tháng 11 2019
a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2< ab+ac\\b^2< bc+ab\\c^2< ac+bc\end{cases}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)\(< 4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\)\(< 4\left(ab+bc+ac\right)\)(đpcm)
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2020
\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ca< 0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+c^2+2ab+2bc+2bc< c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)< c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(a+b+c\right)^2< c^2\)
Do \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+\left(a+b+c\right)^2\ge a^2+b^2\)
\(\Rightarrow c^2>a^2+b^2\)
2 tháng 7 2020
Cảm ơn đã trả lời nhưng mong bạn trình bày vs trình độ lớp 8
T
1 tháng 7 2020
Đề nghị bạn đánh đề kỹ hơn!!
\(\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\le1\) với $a,b,c>0; ab+bc+ca=3$
\(\text{VP}-\text{VT}= \sum{\frac { \left( a-b \right) ^{2} \Big\{ c \left( 9\,{a}^{2}b+4 \,c{a}^{2}+9\,a{b}^{2}+4\,{b}^{2}c+16\,{c}^{3} \right) +3ab \Big\} }{27 \left( {a}^{2}+{b}^{2}+1 \right) \left( {b}^{2}+{c}^{2}+ 1 \right) \left( {a}^{2}+{c}^{2}+1 \right) }} \geqq 0\)
PS: Bài này quá tầm thường với SOS:v
PT
1
10 tháng 7 2021
Theo bđt tam giác ta có : \(\hept{\begin{cases}a-b< c\Rightarrow a^2-2ab+b^2< c^2\\b-c< a\Rightarrow b^2-2bc+c^2< a^2\\c-a< b\Rightarrow c^2-2ac+a^2< b^2\end{cases}}\)
Cộng vế với vế các bđt trên => 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2( ab + bc + ca ) < a2 + b2 + c2
<=> a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) ( đpcm )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Biến đổi tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)
b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le3\left(a+b+c\right)\) (nhân 3 vào hai vế)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\) (sử dụng giả thiết 3 = a + b + c để đồng bậc hóa hai vế)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đúng)