Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=a-\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}+b-\frac{bc(b+c)}{b^2+bc+c^2}+c-\frac{ca(c+a)}{c^2+ca+a^2}\)
\(=a+b+c-\left(\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}+\frac{bc(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca(c+a)}{c^2+ca+a^2}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\geq a+b+c-\left(\frac{ab(a+b)}{2ab+ab}+\frac{bc(b+c)}{2bc+bc}+\frac{ca(c+a)}{2ac+ac}\right)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq a+b+c-\frac{2}{3}(a+b+c)=\frac{a+b+c}{3}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
Bạn ghi nhầm đề bài thì phải, \(a,b,c\in Z\)* mới đúng
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{2}{bc}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{2}{bc}=0\Leftrightarrow2\left(\dfrac{a+b+c}{abc}\right)=0\Leftrightarrow a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Mà \(-3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)⋮3\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮3\)
\(\text{Ta có: }\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi a=1
cách c/m:
\(\text{Xét }a^2=1\Leftrightarrow\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}=2\)
\(\text{Xét }a^2>1.\text{Đặt }a^2=k+1\left(k>0\right)\text{ta có:}\frac{k+1}{1}+\frac{1+k-k}{k+1}=\frac{k}{1}+1+1-\frac{k}{k+1}=2+\frac{k^2}{k+1}>2\left(\text{Vì }k>0\right)\)
\(\text{Xét }a^2< 1.\text{Đặt }a^2=1-k,\text{ta có: }\frac{1-k}{1}+\frac{1-k+1}{1-k}=1-\frac{k}{1}+1+\frac{1}{1-k}=2+\frac{k^2-k+1}{1-k}\)
\(k^2-k+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(1)
\(1-k=a^2,a^2>0\Rightarrow1-k>0\)(2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{1-k}>0\Rightarrow2+\frac{k^2-k+1}{1-k}>2\)
\(\text{ }\frac{b^2}{1}+\frac{1}{b^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi b=1
\(\frac{c^2}{1}+\frac{1}{c^2}\ge2\) Dấu = xảy ra khi c=1
\(\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
??? ghi sai đề ko bạn? =3 chứ ?
p/s: sai sót bỏ qua >:
đặt \(am^3=bn^3=cp^3=k^3\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{k^3}{m^3};b=\dfrac{k^3}{n^3};c=\dfrac{k^3}{p^3}\)
VT=\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\dfrac{k}{m}+\dfrac{k}{n}+\dfrac{k}{p}=k\)
VF=\(\sqrt[3]{\dfrac{k^3}{m}+\dfrac{k^3}{n}+\dfrac{k^3}{p}}=\sqrt[3]{k^3}=k\)
do đó VT=VF, đẳng thức được chứng minh
Bên dưới là chứng minh bằng 3 hay 6 bạn? Sao bằng 6 được nhỉ?
2)a)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
c)\(a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
b)\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3a^b+3ab^2\\ \Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
Lời giải:
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{k^3}{x^3}\\ b=\frac{k^3}{y^3}\\ c=\frac{k^3}{z^3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{a}=\frac{k}{x}\\ \sqrt[3]{b}=\frac{k}{y}\\ \sqrt[3]{c}=\frac{k}{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k(*)\)
Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(k^3=ax^3=by^3=cz^3=\frac{ax^2}{\frac{1}{x}}=\frac{by^2}{\frac{1}{y}}=\frac{cz^2}{\frac{1}{z}}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)
\(\Rightarrow k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}(**)\)
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :
( a2 + b2 + c2)( 12 + 12 + 12) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}\) ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{3}\)