Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không là số nguyên
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có:
M >\(\frac{a+b+c}{a+b+c}\)
=>M>1 (1)
Aps dụng t/c (a;b>1) =>\(\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\)Ta có:
\(\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}<\frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có:
M > \(\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
=>M>2 (2)
Tư (1) vs (2) => 1<M<2
=>M ko là số nguyên
Ta có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+c+b};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
=> M>1 (1)
Lại có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c};\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=2\)
=> M<2 (2)
Từ (1)(2) => 1<M<2 => M không là số nguyên (đpcm)
Đặt \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) ta có :
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)\(;\)\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\) và \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Suy ra \(M>1\)\(\left(1\right)\)
Lại có :
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)\(;\)\(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\) và \(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=2\)
Suy ra \(M< 2\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(1< M< 2\)
Vậy \(M\) không là số nguyên
tương tự bài này :
https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100728065830AAMp07Z
Vì a+b<a+b+c=>a/(a+b)>a/(a+b+c)
Vì b+c<a+b+c=>b/b+c>b/(a+b+c)
Vì c+a<a+b+c=>c/c+a>c/(a+b+c)
=>a/a+b+b/(b+c)+c/c+a>a/(a+b+c)+b/(a+b+c)+c/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1
=>a/a+b+b/b+c+c/c+a>1
=> điều phải chứng minh
Mình viết hơi khó đọc. bạn thông cảm nha !