Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu trả lời hay nhất: áp dụng BĐT bunhiacopxki
(a² + b² + c²).(1+1+1) ≥ (a.1 + b.1 + c.1)² = 1
=> a² + b² + c² ≥ 1/3
dấu "=" xảy ra <=> a/1 = b/1 = c/1 => a = b = c = 1/3
tk mk nha $_$
abcd = 1 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab=\frac{1}{cd}\\ac=\frac{1}{bd}\\bc=\frac{1}{ad}\end{cases}}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
A = \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\)\(=\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(c^2+d^2+cd\right)+ac+bc+bd+ad\)
\(=\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(c^2+d^2+cd\right)+\left(\frac{1}{bd}+bd\right)+\left(\frac{1}{ad}+ad\right)\)
\(\ge3\sqrt{a^2.b^2.ab}+3\sqrt{c^2.d^2.cd}+2\sqrt{\frac{1}{bd}.bd}+2\sqrt{\frac{1}{ad}.ad}\)
\(\Leftrightarrow A\ge3ab+3cd+2+2\)\(=\frac{3}{cd}+3cd+4\ge2\sqrt{\frac{3}{cd}.3cd}+4=6+4=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = 1
Ta có:\(a\ge b\ge c\ge0\)
\(\Rightarrow a^2\ge b^2\ge c^2\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2\ge0\\b^2-c^2\ge0\\c^2-a^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\\a^3\left(b^2-c^2\right)\ge0\\b^3\left(c^2-a^2\right)\ge0\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow c^3\left(a^2-b^2\right)+a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
Nguyen Sy Hoc: mình nghĩ đề đâu sai đâu nhỉ?
Có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a.\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge a\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta thu được:
\(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Áp dụng BĐT Cosi 3 số dương:
\(2\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân theo vế của 2 BĐT \(2\left(a+b+c\left[\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right]\right)\ge9\)
\(\Rightarrow P+3\ge\frac{9}{2}\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\left(Dpcm\right)\)
Dấu "=" <=> a=b=c
a/
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a>2\Rightarrow\frac{1}{a}< \frac{1}{2}\\b>2\Rightarrow\frac{1}{b}< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}< 1\Rightarrow a+b< ab\) (đpcm)
b/ Ko rõ đề là gì
c/ \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
a^2 +b^2 +c^2 =1 chứ không phải là nhỏ hơn 0 . mình giải như sau
a,b,c>0 và a^2 + b^2 + c^2 =1
=>a^2 <1 ;b^2 <1 ; c^2 <1
a/(b^2+c^2) + b/(a^2+c^2) + c/(b^2+a^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
<=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
ta cần chứng minh
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
ta có:
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2 <=> 1/(1-a^2) >= (3√3)/2 .a
<=> 1 >= (3√3)/2 .a(1-a^2)
<=> 2/(3√3) >= a(1-a^2)
<=> 4/27 >= a^2.(1-a^2)(1-a^2) (**)
áp dụng bđt co sy cho 3 số dương 2a^2 ; 1-a^2 ; 1-a^2
ta có:
2a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= (2a^2 + 1-a^2 + 1-a^2)^3/27 = 8/27
=> a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= 4/27
=> (**) luôn đúng
=>
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
tương tự ta có:
b/(1-b^2) >= (3√3)/2 . b^2
c/(1-c^2) >= (3√3)/2 .c^2
=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2) = (3√3)/2
cần c/m bđt : a/b+c +b/a+c + c/a+b >= 3/2 với a,b,c>0 (nesbit) (*)
<=>(a/b+c + 1 ) + (b/a+c + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2 + 1 + 1 + 1
<=>(a+b+c)/b+c + (a+b+c)/a+c + (a+b+c)/a+b >= 9/2
<=> 2(a+b+c)(1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9
<=>[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9 (1)
Đặt x=a+b;y=b+c;z=a+c
(1) <=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 9
<=>(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(z/x+x/z) >= 6
<=>(x/y+y/x-2)+(y/z+z/y-2)+(z/x+x/z-2) >= 0
<=>(x-y)2/xy+(y-z)2/yz+(z-x)2/zx >= 0(luôn đúng)
Vậy bdt (*) là đúng
trở lại bài toán : a2/b+c + b2/a+c + c2/a+b >= (a+b+c)/2
<=>(a2/b+c + a)+(b2/a+c + b)+(c2/a+b + c) >= 3/2(a+b+c)
<=>a(a+b+c)/b+c + b(a+b+c)/a+c + c(a+b+c)/a+b >= 3/2(a+b+c)
<=>a/b+c + b/a+c + c/a+b >= 3/2 (bđt (*))
Vậy có đpcm