Question

[Trần Thảo Vi]

Cho 5 số dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là số chính phương

Answer 1

[Gia Bao]

2. Chứng minh trong 5 số chỉ có thừa số nguyên tố 2 và 3 tồn tại hai số có tích là số chính phương

Đề bài: Cho 5 số dương phân biệt, sao cho mỗi số chỉ có các ước nguyên tố là 2 và 3 (hay nói cách khác, mỗi số có dạng \(2^{a} \textrm{ } 3^{b}\) với \(a , b \geq 0\) là các số nguyên). Chứng minh rằng trong 5 số này luôn tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.

---

A. Phân tích ý tưởng

Mỗi số \(n\) đã cho đều có dạng

\(n = 2^{a} \textrm{ } 3^{b} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; a , b \in \mathbb{Z}_{\geq 0} .\)

Để một số \(N\) là chính phương, trong phân tích thừa số nguyên tố

\(N = 2^{A} \textrm{ } 3^{B}\)

cần phải có cả \(A\) và \(B\) là các số chẵn (vì nếu \(N = k^{2}\), thì trong phân tích thừa số nguyên tố của \(k\) mỗi mũ chia hết cho 2).

Giả sử ta chọn hai số:

\(x = 2^{a_{1}} \textrm{ } 3^{b_{1}} , y = 2^{a_{2}} \textrm{ } 3^{b_{2}} .\)

Khi đó tích

\(x \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2^{\textrm{ } a_{1} + a_{2}} \textrm{ }\textrm{ } 3^{\textrm{ } b_{1} + b_{2}} .\)

Để \(x y\) là chính phương, ta cần

\(a_{1} + a_{2} \equiv 0 \left(\right. m o d 2 \left.\right) , b_{1} + b_{2} \equiv 0 \left(\right. m o d 2 \left.\right) .\)

Nghĩa là \(\left(\right. a_{1} + a_{2} \left.\right)\) và \(\left(\right. b_{1} + b_{2} \left.\right)\) đều chẵn.

---

B. Dùng nguyên lý Dirichlet (Bắt thăm – Hộp)

Xét cặp số \(\left(\right. a_{i} \textrm{ } \textrm{ } 2 , \textrm{ }\textrm{ } b_{i} \textrm{ } \textrm{ } 2 \left.\right)\). Mỗi \(a_{i} , b_{i}\) có thể là số chẵn (ký hiệu 0) hoặc lẻ (ký hiệu 1) nếu xét lấy dư 2.

• Tập hợp tất cả các cặp \(\left(\right. \textrm{ } a_{i} \textrm{ } \textrm{ } 2 , \textrm{ }\textrm{ } b_{i} \textrm{ } \textrm{ } 2 \left.\right)\) có thể là:
  \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 , 1 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 1 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 1 , 1 \left.\right) .\)
  Tức có 4 khả năng khác nhau.
• Chúng ta có 5 số ban đầu. Do đó theo nguyên lý Dirichlet:
• • Khi bạn có 5 “điểm” (ở đây là 5 cặp \(\left(\right. a_{i} \textrm{ } \textrm{ } 2 , \textrm{ }\textrm{ } b_{i} \textrm{ } \textrm{ } 2 \left.\right)\)) mà chỉ có 4 “hộp” (bốn khả năng \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , 1 \left.\right) , \left(\right. 1 , 0 \left.\right) , \left(\right. 1 , 1 \left.\right)\)), thì có ít nhất hai số \(x\) và \(y\) cho cùng một cặp \(\left(\right. a \textrm{ } \textrm{ } 2 , \textrm{ } b \textrm{ } \textrm{ } 2 \left.\right)\).

Giả sử hai số đó là

\(x = 2^{a_{1}} \textrm{ } 3^{b_{1}} , y = 2^{a_{2}} \textrm{ } 3^{b_{2}} ,\)

thỏa mãn

\(a_{1} \equiv a_{2} \left(\right. m o d 2 \left.\right) , b_{1} \equiv b_{2} \left(\right. m o d 2 \left.\right) .\)

Khi đó \(a_{1} + a_{2}\) chắn chắn là số chẵn (vì hai số đồng dư mod 2), và \(b_{1} + b_{2}\) cũng là số chẵn. Vì vậy

\(x \textrm{ } y = 2^{\textrm{ } a_{1} + a_{2}} \textrm{ }\textrm{ } 3^{\textrm{ } b_{1} + b_{2}}\)

mà \(a_{1} + a_{2}\) chẵn, \(b_{1} + b_{2}\) chẵn. Do đó \(x y\) là số chính phương.

Kết luận: Trong 5 số dương phân biệt chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 và 3, luôn tồn tại hai số sao cho tích của chúng là một số chính phương.