Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử không có BĐT nào sai, ta có:
\(4\left(b+d\right)>a^2+c^2\ge2ac\)
Mà \(ac\ge2\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow4\left(b+d\right)>4\left(b+d\right)\) Vô lí
=> có ít nhất 1 bđt sai
Ta có :\(ac\ge2\left(b+d\right)\)\(\Leftrightarrow2ac\ge4\left(b+d\right)\)(1)
Giả sử hai bất đẳng thức \(a^2< 4b;c^2< 4d\)đều đúng , cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta đc
\(a^2+c^2< 4b+4d\Leftrightarrow a^2+c^2< 4\left(b+d\right)\)
Thay (1) vào bất đẳng thức trên ta đc:\(a^2+c^2< 2ac\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ac+c^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-c\right)^2< 0\)=> vô lí
Vậy có ít nhất một trong 2 bất đẳng thức trên là sai.
Bài 1:
Chiều thuận:\(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3; y\vdots 3\)
Giả sử cả \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\). Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 thì dư $0$ hoặc $1$.
Do đó nếu \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 3; y^2\equiv 1\pmod 3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv 2\pmod 3\) (trái với giả thiết )
Suy ra ít nhất một trong 2 số $x,y$ chia hết cho $3$
Giả sử $x\vdots 3$ \(\Rightarrow x^2\vdots 3\). Mà \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow y^2\vdots 3\Rightarrow y\vdots 3\)
Vậy \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x,y\vdots 3\)
Chiều đảo:
Ta thấy với \(x\vdots 3, y\vdots 3\Rightarrow x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (đpcm)
Vậy ta có đpcm.
Bài 2: > chứ không \(\geq \) nhé, vì khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) thì cả 3 BĐT đều đúng.
Phản chứng, giả sử cả 3 BĐT đều đúng
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(1-b)> \frac{1}{4}\\ b(1-c)> \frac{1}{4}\\ c(1-a)>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{4^3}(*)\)
Theo BĐT AM-GM thì:
\(a(1-a)\leq \left(\frac{a+1-a}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(b(1-b)\leq \left(\frac{b+1-b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(c(1-c)\leq \left(\frac{c+1-c}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{4^3}\) (mâu thuẫn với $(*)$)
Do đó điều giả sử là sai, tức là trong 3 BĐT trên có ít nhất một BĐT đúng.
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a.\frac{3a+a+2b}{2}=2a^2+ab\)
Tương tự : \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\)
Cộng vế theo vế, ta được :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2\left(a^2+b^2\right)+2ab=4+2ab\le4+a^2+b^2\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
bài 28
\(P=\frac{\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]\left(a+b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-c\right)^2-b^2\right]}\)
=>\(P=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a-c-b\right)\left(a-c+b\right)}\)
=>\(P=1\)
Bài 30 phải là xy+y+x=3.
Ta có: xy+y+x=3 => (x+1)(y+1)=4(1)
yz+y+z=8 => (y+1)(z+1)=9(2)
zx+x+z=15 => (x+1)(z+1)=16(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế, ta có:
[(x+1)(y+1)(z+1)]2=576
=> (x+1)(y+1)(z+1)=24(I) hoặc (x+1)(y+1)(z+1)=-24(II)
Lần lượt thay (1),(2),(3) vào (I),(II), tính x,y,z.
Kết quả: P=43/6 hoặc P=-79/6
Giả sử tất cả các bđt đều đúng
Cộng các vế của các bđt ta có:
\(2ac\ge4\left(b+d\right)>a^2+c^2\)
=> \(2ac>a^2+c^2\Leftrightarrow a^2-2ac+c^2< 0\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2< 0\) (Vô lí)
Vậy có ít nhất 1 trong các bđt trên sai