NT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 7 2019
Áp dụng bđt AM-GM\(3\left(3x-2\right)^2+\frac{8x}{y}=3\left(9x^2-12x+4\right)+\frac{8x}{y}\)
\(=27x^2-36x+12+\frac{8x}{y}=27x^2-24x+12y+\frac{8x}{y}\)
\(=\left(24x^2+4y+\frac{16x}{3y}\right)+\left(3x^2+8y+\frac{8x}{3y}\right)-24x\)
\(\ge3\sqrt[3]{24x^2.4y.\frac{16x}{3y}}+\left(3x^2+8y+\frac{8x}{3y}\right)-24x=3x^2+8y+\frac{8x}{3y}\)
\(=\left(3x^2+\frac{y}{2}+\frac{2x}{3y}\right)+\left(\frac{15}{2}y+\frac{2x}{y}\right)\ge3\sqrt[3]{3x^2.\frac{y}{2}.\frac{2x}{3y}}+\left(\frac{15}{2}y+\frac{2x}{y}\right)=3x+\frac{15y}{2}+\frac{2x}{y}\)
\(=3x+\frac{15y}{2}+\frac{2x}{y}+2-2=3x+\frac{15y}{2}+\frac{2}{y}-2\)
\(=\left(3x+3y\right)+\left(\frac{9}{2}y+\frac{2}{y}\right)-2\ge3+2\sqrt{\frac{9y}{2}.\frac{2}{y}}-2=3+6-2=7\)
\("="\Leftrightarrow x=\frac{1}{3};y=\frac{2}{3}\)
QN
0
HP
1
NA
30 tháng 5 2018
Đặt: \(VT=\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\)
Theo BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{1}{9}\left(y+2\right)\ge\frac{2}{3}x\) và \(\frac{y^2}{z+2}+\frac{1}{9}\left(z+2\right)\ge\frac{2}{3}y\)và \(\frac{z^2}{x+2}+\frac{1}{9}\left(x+2\right)\ge\frac{2}{3}z\)
Cộng vế theo vế, ta có:
\(VT\ge\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)-\frac{1}{9}\left(x+y+z+6\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\) ( 1 )
Theo BĐT Cauchy, ta chứng minh được:
@ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow3xyz\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow3\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{1}{3}\)
@ \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge\frac{9}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\ge\frac{9}{3}=3\) ( 2 )
Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow VT\ge\frac{5}{9}.3-\frac{2}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)( thỏa đề bài )
6 tháng 11 2016
cho\(\Delta ABC\)có 3 góc nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các đường thảng song song với BE và CF lần lượt cắt các đường thẳng CF và BE tại P và Q
1) CM: AH.AB=QA.BC
2)CM: BF.BA+CE.CA=BC2
3) Đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt PQ tại K. CM: 4 điểm A, K, E, Q cùng thuộc một đường tròn
17 tháng 1 2016
(*) CM BĐT : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) ( biến đổi tương đương là được )
Áp dụng :
\(2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\ge\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2\)
TA có : \(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4x+\frac{1}{x}+4y+\frac{1}{y}-3\left(x+y\right)\)
\(\ge4+4-3=5\) ( theo cô - si )
=> 2\(2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\ge25\) => ĐPCM
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y= 0,5
Áp dụng cỉu gì nhể
3x + 5y = 7 => x = \(\frac{7-5y}{3}\)
=> \(x^2+y^2=\frac{\left(7-5y\right)^2}{9}+y^2=\frac{49-70y+25y^2+9y^2}{9}=\frac{34y^2-70y+49}{9}\)
34y2 - 70y + 49 = 34. (y2 - 2.y. \(\frac{35}{34}\) + \(\left(\frac{35}{34}\right)^2\)) - \(\frac{35^2}{34}\) + 49 = \(34.\left(y-\frac{35}{34}\right)^2+\frac{441}{34}\)
=> \(x^2+y^2=\frac{34}{9}\left(y-\frac{35}{34}\right)^2+\frac{49}{34}\ge0+\frac{49}{34}=\frac{49}{34}\)
Dấu "=" xảy ra <=> y = 35/34 ; x = 21/34