Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho \(x^2+y^2=1\).Tìm min max \(\sqrt{3}xy+y^2\)
Cho \(a^2+b^2\le2\left(a+b\right)\) Tìm min max 2a+b
DKXD của A, ta có \(x^{2\le5\Rightarrow-\sqrt{5}\le x\le\sqrt{5}}\)
mà \(3x\ge-3\sqrt{5}\)
mặt kkhác \(\sqrt{5-x^2}\ge0\Rightarrow A=3x+x\sqrt{5-x^2}\ge-3\sqrt{5}\)
min A= \(-3\sqrt{5}\)\(\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}\)
Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z
\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)
Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
a)Vì hai số không âm x,y thỏa mãn:\(x^2+y^2=1\)nên \(x\le1,y\le1\)Nên ta có:
\(x^3\le x^2;y^3\le y^2\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\)
Vậy Max=1
b)Áp dụng bunhiacopxki ta có:
\(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2}\)
\(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=\left(\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\right)\left(\sqrt{x^3}^2+\sqrt{y^3}^2\right)\right)\)\(\ge\left(x^2+y^2\right)^2=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{1}{x+y}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(Q=a+b+\frac{a^2+b^2}{a}+\frac{a^2+b^2}{b}=a+b+\frac{8}{a}+\frac{8}{b}\).
Ta dự đoán biểu thức đạt min tại \(a=b=2\) nghĩa là \(a=\frac{4}{a},b=\frac{4}{b}\) nên ta tách:
\(Q=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{4}{b}\right)+4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\).
Áp dụng BĐT Cauchy và BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có \(Q\ge8+\frac{16}{a+b}\).
Ta lại có \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=4\) nên \(Q\ge12\)