\(a^2+b^2+c^2=3\)

CMR : \(\frac{1...">

K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 6 2019

Có: \(\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2a+1\right)\left(4a^2-2a+1\right)}}\ge\frac{1}{\frac{\left(2a+1\right)+\left(4a^2-2a+1\right)}{2}}=\frac{1}{2a^2+1}\)

( Sử dụng bđt: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\))

Tường tự rồi cộng lại:

\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{9}{9}=1\)

Vậy...

8 tháng 12 2017

Chứng minh BĐT phụ: \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\) với \(x;y>0\)         (*)

Ta có: \(3a^2+8b^2+14ab\)

\(=\left(3a^2+12ab\right)+\left(2ab+8b^2\right)\)

\(=3a\left(a+4b\right)+2b\left(a+4b\right)\)

\(=\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le\frac{3a+2b+a+4b}{2}=2a+3b\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)

Tương tự, ta có:  \(\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}\ge\frac{b^2}{2b+3c}\)

                           \(\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{c^2}{2c+3a}\)

Áp dụng (*), ta có:

\(VT\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}\)

                                                                                         \(=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)

Vậy \(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)

30 tháng 9 2019

Vì a,b,c là số thực dương nên \(\sqrt{a^2}=a;\sqrt{b^2}=b;\sqrt{c^2}\)=c. Vậy ta có

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)=\(\frac{a}{a+1}-1+\frac{b}{b+1}-1\)+\(\frac{c}{c+1}-1+3\) 

=3-(  \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\)) =A

ta có bdt  \(9\le\left(a+1+b+1+c+1\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)(dễ dàng chứng mình bằng bdt cosi).

=>\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\)\(\frac{9}{3+\sqrt{3}}\)=> A\(\le3-\frac{9}{3+\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}+1}\)

dấu = khi a=b=c=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

7 tháng 9 2019

Làm bài này một hồi chắc bay não:v

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.

Bài 2:

a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v

b) Theo BĐT Bunhicopxki:

\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:

\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)

7 tháng 9 2019

Nói trước là bài 3 em không chắc, tự dưng thấy tại sao lại có đk \(\left|x\right|< 1;\left|y\right|< 1?!?\) Chẳng lẽ lời giải của em sai hay là đề thừa?

NV
9 tháng 3 2020

1. ĐKXĐ: ...

Đặt \(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=t\ge\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow t^2=8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}\)

\(\Rightarrow2x+\sqrt{4x^2+9x+2}=\frac{t^2-9}{4}\)

Phương trình trở thành:

\(\frac{t^2-9}{4}+3=t\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(l\right)\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\sqrt{4x^2+9x+2}=t^2-\left(8x+9\right)=-8x\) (\(x\le0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x\)

\(\Leftrightarrow4x^2+9x+2=4x^2\Rightarrow x=-\frac{2}{9}\)

NV
9 tháng 3 2020

Bài 2:

Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\Rightarrow3\ge a+b+c\)

Do \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

Nên BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)

Thật vậy, ta có:

\(\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge3a\) ; \(\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\ge3b\) ; \(\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\ge3c\)

\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+a^2+b^2+c^2\ge3\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+a^2+b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

20 tháng 1 2019

Theo đề ra ta có :

 \(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\left[\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\right]\le0\)

và : \(ab+bc+ca\le3\)

Suy ra : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được :

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Thiết lập 2 đẳng thức tương tự, cộng về theo về, ta có :

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)

và : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)

Mà : \(a+b+c=3\)( theo đề bài ) , suy ra đpcm

20 tháng 1 2019

ở dòng thứ 3 qua dòng thứ 4 bạn sai nhé. đáng lẽ là \(\ge\)

21 tháng 5 2018

\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+3\ge7\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le3\)Áp dụng BĐT AM-GM ta có : 

\(A=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3c^3+1+1}}+\frac{4\sqrt{3}}{c^6+1+2a^3+8}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{4\sqrt{3}}{2c^3+2a^3+8}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+4}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+1+1+1+1}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{ac}}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{1}{\sqrt{3ac}}\)\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}\right)\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}\le\sqrt{3}\) (Bunhiacopxki)

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

PS : Thánh cx đc phết ha; chế đc bài này tui mới khâm phục :)))

28 tháng 5 2018

nó ko chém đâu anh nó chép trong toán tuổi thơ đấy,thk này khốn nạn lắm

12 tháng 4 2016

\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)