Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho mình hỏi bạn biết làm chưa nếu rồi thì giúp mình được không ạ mình ko biết làm
Đầu tiên ta cm:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(tự cm)
Áp dụng:\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
Lại có:\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=\left(a+b+c\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\ge\dfrac{9}{1}=9\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}\)
\(=\dfrac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\left(a+b+c\le1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(C=\dfrac{a^2}{a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2+2ac}+\dfrac{c^2}{c^2+2ab}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ac-ab}+\dfrac{b^2}{b^2+ac-ba-bc}+\dfrac{c^2}{c^2+ab-ca-cb}\)
\(=\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=-\left(\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\right)\)
\(=-\left(\dfrac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)
\(=-\left(\dfrac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)=1\)
Ta có :
\(A=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\frac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(A\ge\frac{9}{3^2}=1\)Dấu "=" khi a=b=c= 1