KQ
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 5 2020
\(VT=\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ac^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
N
21 tháng 12 2018
\(\frac{a}{ab+a+1}=\frac{ac}{abc+ac+c}=\frac{ac}{1+ac+c}\)
\(\frac{b}{bc+b+1}=\frac{abc}{acbc+acb+ac}=\frac{1}{c+1+ac}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+1+c}{ac+1+c}=1\)
p/s: cộng lại chỉ = 1 thui >: có sai đề ko vại ?????????
TA
13 tháng 6 2020
Bạn có thể làm cho mik bằng cách hệ số bất định được ko?Cảm ơn bạn rất nhiều
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 6 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM: $1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$
Từ đây, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{a^2}{abc+a}+\frac{b^2}{abc+b}+\frac{c^2}{abc+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3abc+a+b+c}=\frac{1}{3abc+1}\geq \frac{1}{3.\frac{1}{27}+1}=\frac{9}{10}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
6 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2.\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2.c\\\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2.\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b\\\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2.\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{ab}{c}}=2a\end{cases}}\Leftrightarrow2.\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)( tự giải rõ ra nhé )
BĐT AM-GM:
\(a+a_1+a_2+...+a_n\ge n\sqrt[n]{a.a_1.a_2.....a_n}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=a_1=a_2=...=a_n\)
6 tháng 2 2019
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^2}+\frac{abc}{b^2}+\frac{abc}{c^2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow abc.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge a+b+c\)
Giải tiếp nhé
TT
18 tháng 12 2017
\(\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+abc}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(=\dfrac{a}{a\left(b+1+bc\right)}+\dfrac{b}{b\left(c+1+ac\right)}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(=\dfrac{1}{b+1+bc}+\dfrac{1}{c+1+ac}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(=\dfrac{ac}{abc+ac+abc.c}+\dfrac{1}{ac+c+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(=\dfrac{ac}{1+ac+c}+\dfrac{1}{ac+c+c}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(=\dfrac{ac+1+c}{ac+c+1}=1\) (đpcm)
Áp dụng BĐT Cô-si: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)với \(x,y>0\), ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)(dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\))
Tương tự, ta cũng có:
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\left('='\Leftrightarrow a=c\right);\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\left('='\Leftrightarrow b=c\right)\)
Vì vậy
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge6\)(dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\))
\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\ge9\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge9abc\)