Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
(Đề lừa người quá!)
\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ab+bc+ca+c^2=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\).
Biến đổi tương tự các tử số ta được BĐT: \(\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a+b}+\frac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c+a}\ge2\).
Đặt \(x=a+b,y=b+c,z=c+a\). Ta có \(x+y+z=2\)
Ta cần CM: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge2xyz\)
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) ta có \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=2xyz\)
Bài toán được chứng minh.
Bạn Trần Quốc Đạt Giỏi hơn anh luôn ấy nha
nói thiệt chớ anh nhìn vào cũng loạn mắt lam ko nổi đấy nha
anh k cho Đạt 3 k
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^2+ab^2}{a+b+b^2}=a-\frac{ab}{a+b+b^2}\ge a-\frac{ab}{3\sqrt[3]{a}b}=a-\frac{\sqrt[3]{a^2}}{3}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{b^2+bc^2}{b+c+c^2}\ge b-\frac{\sqrt[3]{b^2}}{3};\frac{c^2+ca^2}{a+c+a^2}\ge c-\frac{\sqrt[3]{c^2}}{3}\)
Cộng theo vế các BĐT trên và theo BĐT Holder ta có:
\(VT\ge a+b+c-\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}}{3}\)\(\ge3-\frac{\sqrt[3]{3\left(a+b+c\right)^2}}{3}=2\)
"=" khi \(a=b=c=1\)
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
ta có \(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{1+ab-c^2}.\sqrt{ab+2c^2}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{1+ab-c^2}\sqrt{ab+2c^2}}\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
\(\sqrt{ab+1-c^2}\sqrt{ab+2c^2}\le\frac{1}{2}\left(ab+1-c^2+ab+2c^2\right)=\frac{1}{2}\left(2ab+1+c^2\right)\)
=\(\frac{1}{2}\left(2ab+a^2+b^2+2c^2\right)=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+2c^2\right]\le\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)\) =1
=> \(\frac{ab+2c^2}{...}\ge\frac{ab+2c^2}{1}=2c^2+ab\)
tương tự + vào thì e sẽ ra điều phải chứng minh
Nhà hàng Tôm hùm kính chào quý khách ĐC : 255 Nguyễn Huệ, Q tân bình , TP HCM
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a}{bc}\) và \(\frac{b}{ca}\) ta có
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}=2.\frac{1}{c}\)
Làm tương tự ta được
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng theo từng vế rồi chia cho 2. Ta được BĐT cần chứng minh.
Từ giả thiết \(a+b+c=1\Rightarrow2a+2b+2c=2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=2\)
Lại có \(\frac{ab+c}{a+b}=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)
Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{c+a}\ge2\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c\\y=a+c\\z=a+b\end{cases}}\) BĐT trên trở thành
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\ge2\left(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=2\end{cases}}\right)\)
ĐÚng theo BĐT AM-GM vậy c/m xong
1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)
\(=ac+bc+c^2+ab\)
\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)
\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)
CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy /...
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)
\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)