Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ \(abc+a+b=3ab\Leftrightarrow c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=3\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\left(x;y>0\right)\Rightarrow c+x+y=3\)
BĐT cần chứng minh là:
\(\sqrt{\dfrac{1}{x+y+xy}}+\sqrt{\dfrac{1}{y+a+ay}}+\sqrt{\dfrac{1}{x+a+ax}}\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT\ge3\sqrt[6]{\dfrac{1}{\left(x+y+xy\right)\left(x+a+ax\right)\left(a+y+ay\right)}}\ge\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow (x+y+xy)(x+a+ax)(a+y+ay)\leq \frac{1}{27}\)
BĐT này luôn đúng vì ta có 2 BĐT phụ sau luôn đúng theo AM-GM \(mnp\le\left(\dfrac{m+n+p}{3}\right)^3;mn+np+mp\le\dfrac{\left(m+n+p\right)^2}{3}\)
Ok. Done ! 
Ta có \(\sum\limits^{ }_{sym}\sqrt{\dfrac{a^4+b^4}{1+ab}}=\sum\limits^{ }_{sym}\sqrt{\dfrac{2\left(a^4+b^4\right)}{2+2ab}}\ge\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{a^2}{\sqrt{2+2ab}}+\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{b^2}{\sqrt{2+2ab}}\)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:
\(\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{b^2}{\sqrt{2+2ab}}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cộng hai bất đẳng thức ta được:
\(\sqrt{\dfrac{a^4+b^4}{1+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^4+c^4}{1+bc}}+\sqrt{\dfrac{c^4+a^4}{1+ac}}\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\left(a,b,c>0\right)\).
Với \(a,b>0\), ta có:
\(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\).
\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)\left(a-1\right)\ge0\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1\ge a\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\).
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^4-a^3+ab+2}\ge\sqrt{ab+a+1}\).
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\left(1\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\).
Chứng minh tương tự (với \(b,c>0\)), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\left(2\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\).
Chứng minh tương tự (với \(a,c>0\)), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+a+1}}\left(3\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\left(4\right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 3 số, ta được:
\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le\)\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\)\(\left[\frac{1}{\left(\sqrt{ab+a+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{bc+b+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{ca+c+1}\right)^2}\right]\).
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le3\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)\).
Ta có:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)
\(=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{abc}{bc+b+abc}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).
\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{abc}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).
\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{1+ac+c}=1\).
Do đó:
\(\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\le3.1=3\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\le\sqrt{3}\left(5\right)\).
Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\)\(\sqrt{3}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\).
Vậy \(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\sqrt{3}\)với \(a,b,c>0\)và \(abc=1\).
\(+2\)nhé, không phải \(-2\)đâu.
Ta có: \(\left(a^4-a^3+2\right)-\left(a+1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)\(\Rightarrow a^4-a^3+2\ge a+1\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\)
Tương tự:\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\); \(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc^2+abc+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{ac+c+1}+\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}\)(abc = 1)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM (Cô-si)
\(1+a^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3}=3ab\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{ab}\geq \frac{\sqrt{3ab}}{ab}=\frac{c\sqrt{3ab}}{abc}=c\sqrt{3ab}=\sqrt{c}.\sqrt{3abc}=\sqrt{3c}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{bc}\geq \sqrt{3a}\)
\(\frac{\sqrt{1+a^3+c^3}}{ac}\geq \sqrt{3b}\)
Cộng theo vế những BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+c^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{c^3+a^3+1}}{ac}\geq \sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)
\(\geq \sqrt{3}.3\sqrt[3]{\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}}=\sqrt{3}.3\sqrt[6]{abc}=3\sqrt{3}\) (áp dụng BĐT Cô-si)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
cảm ơn nhiều nhé