Question

[Nguyễn Tiến Dũng]

Cho 3 điểm A,B,C và 3 số thực a,b,c có \(a+b+c\ne0\) . Tìm tập hợp J sao cho : \(a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JB}+c\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)

Answer 1

[Aki Tsuki]

\(a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JB}+c\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{JA}+c\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\overrightarrow{JA}=-b\overrightarrow{AB}-c\overrightarrow{AC}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\overrightarrow{JA}=\frac{-b\overrightarrow{AB}-c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}\)

vì A, B, C cố định và a+b+c cho trước không đổi => J là điểm xác định duy nhất

Ta xét có trường hợp:

+) a = b = c > 0 :

\(a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JB}+c\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)

<=> \(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)

=> J trùng với trọng tâm tam giác ABC

+) a>0; b=c:

\(a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JB}+c\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{JA}=\overrightarrow{0}\)

=> J trùng A (xét 2 th khác thì J cũng có thể trùng B hoặc C)
+) a=b >0, c=0, đẳng thức đề cho trở thành:

\(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}\)

=> J là trung điểm đoạn AB (tương tự xét a=c>0, b=0 hoặc b=c>0 , a = 0 ta cũng được J là trung điểm đoạn AC hoặc BC)

Vậy J là điểm xác định duy nhất phụ thuộc vào các chọn bộ (a; b; c)