Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Có \(\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+m\sqrt{x+2\sqrt{x-9}-8}=x+\frac{3m+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-9}+3)^2}+m\sqrt{(\sqrt{x-9}+1)^2}=x+\frac{3m+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x-9}+3+m(\sqrt{x-9}+1)=x+\frac{3m+1}{2}\)
\(\sqrt{x-9}(m+1)=x+\frac{3m+1}{2}-m-3\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x-9}(m+1)=x+\frac{m-5}{2}\)
Đặt \(\sqrt{x-9}=t\) . Ta cần tìm m sao cho PT có hai nghiệm \(t_1,t_2| 0\leq t_1< 1< t_2\)
BPT tương đương:
\(t(m+1)=t^2+9+\frac{m-5}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2t^2-2t(m+1)+(m+13)=0\)
Để PT có hai nghiệm thì; \(\Delta'=(m+1)^2-2(m+13)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-25>0\Leftrightarrow m>5\) hoặc \(m< -5\) (1)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete:
\(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=m+1\\ t_1t_2=\frac{m+13}{2}\end{matrix}\right.\)
Để hai nghiệm thỏa mãn \(0\leq t_1< 1< t_2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2\geq 0\\ (t_1-1)(t_2-1)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq -13\\ t_1t_2-(t_1+t_2)+1< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq -13\\ \frac{m+13}{2}-(m+1)+1< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq -13\\ \frac{13-m}{2}< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> 13\) (2)
Kết hợp (1); (2) suy ra $m\geq 13$
Câu 1:
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-14x+49-2x-1=0\\x< =7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-16x+48=0\\x< =7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4\)
Câu 2:
\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot4=4m^2-16\)
Để phương trình có hai nghiệm thì (m-2)(m+2)>=0
=>m>=2 hoặc m<=-2
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1+2x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+4m-8=0\)
=>(m+2)(m-1)=0
=>m=-2(nhận) hoặc m=1(loại)
Theo hệ thức vi-et ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\)
\(P=\frac{5a^2-6ab+b^2}{2a^2-2ab+ac}=\frac{5-\frac{6b}{a}+\frac{b^2}{a^2}}{2-\frac{2b}{a}+\frac{c}{a}}=\frac{5+6\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2}{2+2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}\)
Mặt khác :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1\le x_2\\x_2\le1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2\le x_1x_2\\x_2^2\le1\end{matrix}\right.\Rightarrow x_1^2+x_2^2\le x_1x_2+1\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2\le3x_1x_2+1\)
\(\Rightarrow P\le\frac{6+6\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_2}{2+2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}=3\)
Biểu thức cuối là \(\frac{\sqrt{x_n^2-1}}{x_1}\) hay là \(\frac{\sqrt{x_n^2-1}}{x_{n+1}}\)