NT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 10 2019
1. Ta có: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=xy+yz+zx+2y\sqrt{xz}+2z\sqrt{xy}+2x\sqrt{yz}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-2y\sqrt{xz}-2z\sqrt{xy}-2x\sqrt{yz}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{yz}\right)^2+\left(y-\sqrt{xz}\right)^2+\left(z-\sqrt{xy}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{yz}\\y=\sqrt{xz}\\z=\sqrt{xy}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\Rightarrow x=y=z\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 10 2019
Bài 1:
\(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-\sqrt{xy}-\sqrt{yz}-\sqrt{xz}=0\)
\(\Leftrightarrow 2x+2y+2z-2\sqrt{xy}-2\sqrt{yz}-2\sqrt{xz}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y-2\sqrt{xy})+(y+z-2\sqrt{yz})+(z+x-2\sqrt{xz})=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2+(\sqrt{z}-\sqrt{x})^2=0\)
Vì \( (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2;(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2;(\sqrt{z}-\sqrt{x})^2\geq 0, \forall x,y,z>0\) nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\( (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2=(\sqrt{z}-\sqrt{x})^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=z\) (đpcm)
D
31 tháng 10 2018
Bằng chứng : sự bất bình đẳng này tương đương với
1y2+ 1+ 1z2+ 1+ 2( y2+ 1 ) ( z2+ 1 )- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -√≥ 1 + 1( y+ z)2+ 1+ 2( y+ z)2+ 1- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -√.1y2+1+1z2+1+2(y2+1)(z2+1)≥1+1(y+z)2+1+2(y+z)2+1.
Thông báo rằng
( y+ z)2+ 1 - ( y2+ 1 ) ( z2+ 1 ) = yz( 2 - yz) ≥ 0 ,(y+z)2+1- -(y2+1)(z2+1)=yz(2- -yz)≥0,
vì thế
2( y2+ 1 ) ( z2+ 1 )- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -√≥ 2( y+ z)2+ 1- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -√.2(y2+1)(z2+1)≥2(y+z)2+1.
Do đó, nó đủ để chứng minh rằng
1y2+ 1+ 1z2+ 1≥ 1 + 1( y+ z)2+ 1.1y2+1+1z2+1≥1+1(y+z)2+1.
Và điều này tương đương với
yz[ 2 - 2 yz- yz( y+ z)2]( y2+ 1 ) ( z2+ 1 ) [ ( y+ z)2+ 1 ]≥ 0.yz[2- -2yz- -yz(y+z)2](y2+1)(z2+1)[(y+z)2+1]≥0.
Trên đây là sự thật bởi vì
2 - 2 yz- yz( y+ z)2= 2 x ( y+ z) - yz( y+ z)2= ( y+ z) [ 2 x - yz( y+ z) ]≥ ( y+ z) [ 2 x - x2( y+ z) ] = x ( y+ z) ( 2 - x y- x z) ≥ 0.2- -2yz- -yz(y+z)2=2x(y+z)- -yz(y+z)2=(y+z)[2x- -yz(y+z)]≥(y+z)[2x- -x2(y+z)]=x(y+z)(2- -xy- -xz)≥0.
2 - 2 yz- yz( y+ z)2= 2 x ( y+ z) - yz( y+ z)2= ( y+ z) [ 2 x - yz( y+ z) ] ≥ ( y+ z) [ 2 x - x2( y+ z) ] = x ( y+ z) ( 2 - x y- x z) ≥ 0.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2019
Đặt \(\sqrt{x-2}=a\ge0\)
\(\Rightarrow ay^2-2y+a=0\)
\(\Delta'=1-a^2\ge0\Rightarrow\left|a\right|\le1\Rightarrow0\le a\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2}\le1\Rightarrow x\le3\Rightarrow x^3\le27\)
CV
17 tháng 2 2019
ta co:\(y^2\sqrt{x-2}-2y+\sqrt[]{x-2}=0\)
xét denta:\(\Delta=b^2-4ac=4-4.\left(x-2\right)=4\left(3-x\right)\)
để có y thỏa mãn => denta >=0
=>\(3>=x\)
=>dpcm
30 tháng 7 2022
a: \(=x-\sqrt{xy}+y-x+2\sqrt{xy}-y=\sqrt{xy}\)
b: \(=\dfrac{1+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
8 tháng 10 2017
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\\\sqrt{z-2}-1=0\end{cases}}\)
8 tháng 10 2017
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\Leftrightarrow\\\sqrt{z-2}-1=0\end{cases}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}}\)
vậy \(S=x+y=1+2=3\)
Ta có :x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+2\sqrt{x}\sqrt{y}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi x,y\(\ge0\))
Dấu"+" xảy ra khi:\(\sqrt{x}=\sqrt{y}\Leftrightarrow x=y\)
Vậy với mọi x,y\(\ge0\) thì x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)
đong 2 bạn đổi lại dấu +\(2\sqrt{xy}\) thành -\(2\sqrt{xy}\) giùm mình