Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bạn phải phân tích được số chính phương là gì
đề bài cho thuộc mấy trường hợp
đề bài này thuộc dạng tìm a và b đó
mình biết khó lắm cố gắng và có gắng lên nhé
chúc bạn làm bài thành công!\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
Ta có: \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow\left(2a^2-2b^2\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2b\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)
*CM 2a+2b+1 và a-b nguyên tố cùng nhau
=> 2a+2b+1 cũng là 1 SCP
Ta có:
\(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2b^2+a-b=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)
Ta có:
Đặt \(d=\left(a-b,2a+2b+1\right)\).
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b⋮d\\2a+2b+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2⋮d^2\Rightarrow b⋮d\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)+b=a⋮d\)
\(\Rightarrow\left(2a+2b+1\right)-2a-2b=1⋮d\Rightarrow d=1\).
Do đó \(a-b,2a+2b+1\)là hai số chính phương.
giả sử c chẵn khi đó ta có:
\(v_2\left(c\right)=v_2\left(5c+2b\right)+v_2\left(2c+b\right)\)
Nếu b lẻ thì ta có: \(v_2\left(c\right)=v_2\left(5c+2b\right)=v_2\left(5c\right)\Rightarrow v_2\left(5c\right)< v_2\left(2b\right)=1\)
Điều này vô lý!
Do đó c lẻ: Xét p|c là 1 ước nguyên tố của c
Ta có: \(v_p\left(c\right)=v_p\left(5c+2b\right)+v_p\left(2c+b\right)\)
Ta thấy \(v_p\left(c\right)>v_p\left(5c+2b\right);v_p\left(2c+b\right)>0\)
Do đó: \(v_p\left(5c+2b\right)=min\left[v_p\left(c\right);v_p\left(4c+2b\right)\right]\)
\(\Rightarrow v_p\left(5c+2b\right)=v_p\left(4c+2b\right)=v_p\left(2c+b\right)\)
\(\Rightarrow v_p\left(c\right)=2v_p\left(5c+2b\right):\)số chẵn nên => c là số chính phương.(đpcm)
Sửa đề: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\\abc=2021\end{cases}}\) thì \(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\) là số chính phương
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\\abc=2021\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{abc}\Rightarrow ab+bc+ca=1\left(abc\ne0\right)\)
Khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}1+a^2=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\1+b^2=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\\1+c^2=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{cases}}\)
Nhân vế với vế ta được:
\(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
=> M là số chính phương
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\Leftrightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c-a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)-d\left(c-a\right)\left(c+d\right)\left(d+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)\left(b+c\right)-d\left(c+d\right)\left(d+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow bad+bd^2+bca+bcd-dab-dac-db^2-cbd=0\)
\(\Leftrightarrow bca-dca+bd^2-db^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ca-bd\right)=0\)
\(\Rightarrow ca=bd\Rightarrow abcd=bd^2\)
Chứng minh BĐT Cauchy-schwarz:
Xem câu hỏi
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(P=a^2+2b^2+3c^2=a^2+\frac{b^2}{\frac{1}{2}}+\frac{c^2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{11}{6}}=\frac{6}{11}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b=3c\)
\(\Leftrightarrow b=\frac{3}{2}c\)
Có: \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow3c+\frac{3}{2}c+c=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}c=1\Leftrightarrow c=\frac{2}{11}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3c=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{2}c=\frac{3}{11}\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)
Thử cách này có phải ý bạn không:
\(P=\left(a^2+\frac{36}{121}\right)+\left(2b^2+\frac{18}{121}\right)+\left(3c^2+\frac{12}{121}\right)-\frac{6}{11}\)
\(\ge2\sqrt{a^2.\frac{36}{121}}+2\sqrt{2b^2.\frac{18}{121}}+2\sqrt{3c^2.\frac{12}{121}}-\frac{6}{11}\)
\(=\frac{12\left(a+b+c\right)}{11}-\frac{6}{11}=\frac{12}{11}-\frac{6}{11}=\frac{6}{11}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{36}{121}\\2b^2=\frac{18}{121}\\3c^2=\frac{12}{121}\end{cases}}\) và a,b,c > 0 tức là \(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\) (t/m)
Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)