Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(xy+yz+xz=\frac{2^2-18}{2}=-7\)
\(x+y+z=2\)=> \(z-1=-x-y+1\)
=> \(\frac{1}{xy+z-1}=\frac{1}{xy-x-y+1}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
Tương tự \(\frac{1}{yz+x-1}=\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)};\frac{1}{xz+y-1}=\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
=> \(S=\frac{x+y+z-3}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=-\frac{1}{xyz-\left(yz+xy+xz\right)+\left(x+y+z\right)-1}\)
\(=\frac{-1}{-1+7+2-1}=-\frac{1}{7}\)
Vậy \(S=-\frac{1}{7}\)
\(\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=1\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
Suy ra : \(A^2\le2\Rightarrow A\le\sqrt{2}\)
Vậy Max A = \(\sqrt{2}\) khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x=z\\x+y+z=\sqrt{2}\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Gọi nghiệm của phương trình 6x2+20x+15=0 là t1và t2 .
Nếu ta giả sử rằng a=t1 thì b=\(\frac{1}{t_2}\)
Lúc này biểu thức đã cho trở thành :
\(\frac{\frac{1}{t^3_2}}{\frac{t_1}{t^2_2}-9\left(\frac{t_1}{t_2}+1\right)^3}\)\(=\frac{1}{t_1.t_2-9\left(t_1+t_2\right)^3}\)
Bây giờ chỉ cần thay các giá trị t1+t2 và t1.t2 từ phương trình bậc 2 vào biểu thức trên để có đáp án.
P/s : nếu chưa học pt bậc 2 thì k làm được đâu
Ta luôn có:
\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)\(=3\); dấu "=" xảy ra ⇔\(x=y=z\)
\(x\le\frac{x^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(x=1\)
\(y\le\frac{y^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(y=1\)
\(z\le\frac{z^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(z=1\)
Suy ra: \(x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+3}{2}=\frac{6}{2}=3\)
Do đó: \(P_{max}=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\le3+\frac{5}{3}=\frac{14}{3}\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z=1
\(Gt\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(VT=\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
\(=\frac{\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}+\frac{\frac{1}{y}}{\sqrt{\frac{1}{y^2}+1}}+\frac{\frac{1}{z}}{\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a}{\left(a+b\right)}\cdot\frac{2a}{\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{2b}{\left(b+a\right)}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}\)\(+\sqrt{\frac{2c}{\left(c+a\right)}\cdot\frac{c}{2\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2b}{a+b}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{2c}{c+a}+\frac{c}{2\left(c+b\right)}}{2}=\frac{9}{4}\)
\(P=\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x\left(2y-x\right)-x\left(2y-x\right)+x^2+y^2\)
\(P\ge\frac{2}{x}-2xy+2x^2+y^2\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+x^2+\left(x-y\right)^2\ge3+\left(x-y\right)^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Lời giải:
Với $x,y$ là các số thực dương, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x^2+y^2\geq 2xy\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq \frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy(1)\)
$2y>x$ nên $2y-x>0$. Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy=\frac{1}{x^3(2y-x)}+x(2y-x)+x^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^3(2y-x)}.x(2y-x).x^2}=3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq 3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
+ Theo bđt cauchy :
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\Leftrightarrow x=1\)
+ Tương tự :
\(\frac{1}{y^2+y}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\) Dấu "=" <=> y = 1
\(\frac{1}{z^2+z}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\) Dấu "=" <=> z = 1
Do đó : \(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\) \(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> x = y = z = 1
Em thử nhá, ko chắc đâu. Sai xin bỏ qua cho ạ.
Dễ thấy x, y đều khác 0. Đặt x - y = t khác 0 kết hết x > y suy ra t > 0 và x = t + y. Suy ra 1 =xy = y(t+y) = yt + y2 suy ra 2 = 2yt + 2y2
\(VT=\frac{t^2+2ty+2y^2}{t}=\frac{t^2+2}{t}=t+\frac{2}{t}\) với t > 0. Áp dụng BĐT Cô si ta được:
\(VT=t+\frac{2}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{2}{t}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(t=\frac{2}{t}\Rightarrow t=\sqrt{2}\text{ và }\left(t+y\right)y=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}+y\right)y=1\)
\(\Leftrightarrow y^2+\sqrt{2}y-1=0\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\text{ hoặc }y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\text{hoặc }x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)
Do đó đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left\{\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)\right\}\)