Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Ta có
\(P=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^2}+y\)
\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\left(\frac{2}{y^2}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{x}{4}}+3\sqrt[3]{\frac{2}{y^2}.\frac{y}{4}.\frac{y}{4}}+\frac{1}{2}.4=1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}\)
Vậy MInP=9/2 khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{x}{4}\\\frac{2}{y^2}=\frac{y}{4}\\x+y=4\end{cases}\Rightarrow}x=y=2\)
Theo đề ta suy ra \(y\le1-3x\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{x\left(1-3x\right)}\)
Ta có \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left(1-3x\right)}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+\left(1-3x\right)}{2}}=\frac{2}{2x}+\frac{2}{-2x+1}\)
\(=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{-2x+1}\right)\ge2.\frac{\left(1+1\right)^2}{2x-2x+1}=8\)
Vậy \(A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=1-3x=y\\\frac{1}{2x}=\frac{1}{-2x+1}\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{4}\)