Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự suy ra biểu thức đã cho bằng \(\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\) và là số chính phương
Có : \(a^2+1=a^2+ab+ac+bc=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự : \(b^2+1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)và \(c^2+1=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Suy ra : \(S=\left(a+b\right)\left(a+c\right).\left(a+b\right)\left(b+c\right).\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow S=\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right]^2\)là số chính phương \(\forall\)a ,b ,c nguyên !
với ab+bc+ca=1, ta có
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a^2+ab\right)+\left(bc+ca\right)\)\(=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
tương tự tra có \(b^2+1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(c^2+1=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
=> S=\(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
mà a,b, c là các số nguyên => \(\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\) là số chính phương
=> S là số chính phương (ĐPCM)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\Leftrightarrow ab+bc+ac=1\)
\(A=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\Leftrightarrow1=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).abc\Leftrightarrow1=bc+ac+ab\)
\(A=\left(bc+ac+ab+a^2\right)\left(bc+ac+ab+b^2\right)\left(bc+ac+ab+c^2\right)\)
\(A=\left[c\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)\right]\left[c\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)\right]\left[c\left(c+b\right)+a\left(c+b\right)\right]\)
\(A=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(A=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)
Đề đúng : Tìm hai số nguyên a,b thỏa mãn : \(a^2+b^2+1=ab+a+b\)
Giải : \(a^2+b^2+1=ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+ab\right)=2\left(ab+a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy (a;b) = (1;1)