Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x+y=6\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=36xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-34xy+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^2-34\left(\frac{x}{y}\right)+1=0\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t>0\Rightarrow t^2-34t+1=0\)
\(\Rightarrow t=17\pm12\sqrt{2}\) hay \(\frac{x}{y}=17\pm12\sqrt{2}\)
Đề thì vừa đúng vừa sai. Đề đúng vì max cần tìm là có thật. Nhưng đề sai vì kết quả quá xấu (thậm chí đến WolframAlpha còn giải ko trọn vẹn mà chỉ ra xấp xỉ).
Ý tưởng thế này: Đặt \(X=\sqrt{x}\) thì \(\sqrt{y}=\frac{1}{X}\) nên viết lại biểu thức thành:
\(Q=\frac{1}{X+2}+\frac{1}{X+\frac{1}{X}+1}+\frac{1}{\frac{1}{X}+1}=\frac{X^4+5X^3+8X^2+6X+1}{\left(X+1\right)\left(X+2\right)\left(X^2+X+1\right)}\)
Tới đây có giải cũng ko được đâu, vì...
Theo WolframAlpha thì quả thật biểu thức có max nhưng giá trị đó là:
\(Q\approx1,20411\) tại \(X\approx1,75108\).
Khi mình tra sâu hơn về cái giá trị \(X\) trên kia thì nhận ra giá trị đó là nghiệm của pt
\(x^6+4x^5+5x^4-6x^3-22x^2-20x-7=0\) (giải kiểu gì???)
Mình nghĩ đề bài đã cho điều kiện x,y là hai số dương có tích bằng 1 thì nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM sẽ phù hợp với chương trình lớp 9
cơ mà bạn tra sâu hơn về giá trị x như thế nào để biết x là nghiệm của phương trình trên :v tò mò quá
Có : x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+zx
<=> 3xyz >= xy+yz+zx
Chia cả 2 vế bpt cho xyz được :
3 >= 1/x + 1/y + 1/z
Lại có : (x+y+z).(1/x+1/y+1/z) >= 9 => x+y+z >= 3
Xét : x^2/y+2 + y+2/9 + x/3 >= \(3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y+2}.\frac{y+2}{9}.\frac{x}{3}}\) = x
Tương tự : y^2/z+2 + z+2/9 + y/3 >= y
z^2/x+2 + x+2/9 + z/3 >= z
=> x^2/y+2 + y^2/z^2 + z^2/x+2 >= x+y+z - x+2/9 - y+2/9 - z+2/9 - x/3 - y/3 - z/3
= 5/9.(x+y+z) - 2/3
>= 5/9 . 3 - 2/3 = 1
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Tk mk nha
\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\ge1\)(*)
có \(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+2}\cdot\frac{y+2}{9}}=\frac{2}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{y+2}\ge\frac{6x-y-2}{9}\)
tương tự có \(\frac{y^2}{z+2}\ge\frac{6y-z-2}{9};\frac{z^2}{x+2}\ge\frac{6z-x-2}{9}\)
Đặt vế trái cả (*) là P. Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được \(P\ge\frac{5\left(x+y+z\right)-6}{9}\)
Lại có \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\ge3xyz,x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\ge\frac{1}{3}\left(x+y+\right)^2\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Do đó P>=1
Theo đề bài, ta có:
\(\frac{x}{\frac{7}{2}}=\frac{y}{\frac{9}{2}}\)và \(x+y=32\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{\frac{7}{2}}=\frac{y}{\frac{9}{2}}=\frac{x+y}{\frac{7}{2}+\frac{9}{2}}=\frac{32}{\frac{16}{2}}=\frac{32}{8}=4\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\frac{7}{2}}=4\Rightarrow x=\frac{7}{2}\cdot4=14\)
\(\Rightarrow\frac{y}{\frac{9}{2}}=4\Rightarrow y=\frac{9}{2}\cdot4=18\)
Vậy x=14;y=18
Xét BĐT sau với a,b >0 : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ba}}=2\) \(\). Dấu "=" xảy ra khi a=b
Ta có : \(x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
= \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)\) (1)
Áp dụng BĐT vừa c.m , ta suy ra :
\(\hept{\begin{cases}x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\\y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\\z^2+\frac{1}{z^2}\ge2\end{cases}}\) . Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 (2)
Từ (1) và (2) => \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)\)\(\ge2+1+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Thay vào B , ta được :
B = 2+3+1 =6
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Áp dụng BĐT AM-GM, ta được \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
Vậy minP = 3 tại (x,y,z) = (2,2,2)
Ta có: \(x+y=6\sqrt{xy}\)
Vì y là số dương nên \(y\ne0\), ta chia hai vế cho y.
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+1=6\sqrt{\frac{x}{y}}\)
Đặt \(\sqrt{\frac{x}{y}}=a\left(a>0\right)\Rightarrow a^2+1=6a\)
\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}a=3-2\sqrt{2}\\a=3+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}\frac{x}{y}=17-12\sqrt{2}\\\frac{x}{y}=17+12\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)