Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
\(a+b=4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a^2}{4b^2a+a}+\frac{b^2}{4a^2b+b}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+2ab+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2\cdot\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\)
\(=6\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=1/2
\(A=\frac{2ab}{4ab}+\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
áp dụng bđt AM-GM , a,b> 0
\(\Rightarrow A\ge2ab\left(\frac{4}{4ab+a^2+4b^2}\right)+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{8ab}{1}+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
. Đặt a+1/a=x , b+1/b=y.
. Ta có: A = (a+1/a)^2 + (b+1/b)^2 = x^2 + y^2 >=1/2(x+y)^2 ( Cái này rất dễ chứng minh, bạn dùng định nghĩa để cm nha)(1)
. Ta lại có: x + y = a + b + 1/a + 1/b , vì a + b =1 nên : x + y = 1 + 1/a + 1/b
. Lại có: 1/a + 1/b = a+b/ab, do a,b>0 nên 1/ab nhỏ nhất khi ab lớn nhất <=> a = b = 1/2 ( Vì a+ b =1)
. Suy ra 1/ab >= 4 => a+b/ab >= 4 (a+b =1) => x + y >= 5 (2)
. Từ (1) và (2) suy ra A>= 25/5
. Dấu "=" xảy ra khi a = b =1/2
. Kết luận
. Chỗ nào khó hiểu bạn hỏi lại mình nha =))
.
Có: \(\frac{a^2}{1-a}=\frac{a^2-1+1}{1-a}=\frac{a^2-1}{1-a}+\frac{1}{1-a}=-\left(a+1\right)+\frac{1}{1-a}\)
Suy ra:
\(\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b\)
\(=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b-a-1-b-1\)
\(=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}-2\).
Áp dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{1-a+1-b+a+b}=\frac{9}{2}\).
Suy ra: \(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}-2\ge\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}.\)
Vậy ta có đpcm.
Đặt \(T=a^2+4b^2\)(1)
Vì a+4b=1 => a=1-4b
Thế vào (1) ta được: \(T=\left(1-4b\right)^2+4b^2=20b^2-8b+1\)
<=> \(T=20\left(b^2-2\cdot\frac{1}{5}\cdot b+\frac{1}{25}\right)+\frac{1}{5}=20\left(b-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\)
=> \(T\ge\frac{1}{5}\left(đpcm\right)\)
trả lời
anh ơi cái anyf dùng bất đẳng thức
(ax+by)^2<= (a^2+b^2)(x^2+y^2) cũng được nhỉ
cách này nhanh hơn đó ạ
hok tốt