Tính gt của bt biết:\...">
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời. Câu 1: Ta có: \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}-ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\ge0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\) Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\) \(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\) (1) Ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2-2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\) Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\) \(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\) 5 , a3+b3+c3\(\ge\) 3abc \(\Leftrightarrow\) a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc\(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) \(\ge0\) \(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2)-3ab(a+b+c) \(\ge0\) \(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)\(\ge0\) (1) ta co : a,b,c>0 \(\Rightarrow\)a+b+c>0 (2) (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge0\) <=> 2a2+2b2+2c2-2ac-2cb-2ab\(\ge0\) <=>a2+b2+c2-ab-bc-ac\(\ge\) 0 (3) Từ (1)(2)(3)=> pt luôn đúng 1. Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=m\\\frac{1}{b}=n\\\frac{1}{c}=p\end{cases}}\) khi đó \(\hept{\begin{cases}m+n+p=3\\M=2\left(m^2+n^2+p^2\right)+mnp\end{cases}}\) Áp dụng Cauchy ta được: \(\left(m+n-p\right)\left(m-n+p\right)\le\left(\frac{m+n-p+m-n+p}{2}\right)^2=m^2\) \(\left(n+p-m\right)\left(n+m-p\right)\le n^2\) \(\left(p-n+m\right)\left(p-m+n\right)\le p^2\) \(\Rightarrow\left(m+n-p\right)\left(n+p-m\right)\left(p+m-n\right)\le mnp\) \(\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\ge m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2\) \(\Leftrightarrow\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-pm\right)+6mnp\ge mn\left(m-n\right)+np\left(n-p\right)+pm\left(p-m\right)\) \(=mn\left(3-p\right)+np\left(3-m\right)+pm\left(3-n\right)\) \(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)-3\left(mn+np+pm\right)+6mnp\ge3\left(mn+np+pm\right)-3mnp\) \(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)+9mnp\ge6\left(mn+np+pm\right)\) \(\Leftrightarrow xyz\ge\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\) \(\Rightarrow M\ge2\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\) \(=\frac{5}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)\) \(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm\right)\) \(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m+n+p\right)^2\) \(\ge\frac{4}{3}\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3^2=4+3=7\) Dấu "=" xảy ra khi: \(m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=1\) a) \(4\left(a+b\right)ab=3\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow4\left(a+b\right)ab=4a^2+4b^2-4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab=a^2+b^2-ab\) (đúng) => đẳng thức được cm b) nếu nghĩ ra thì tớ giải cho Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: \(VT=\left(a^2+4\right)\left(b^2+9\right)\) \(\ge\left(\sqrt{a^2b^2}+\sqrt{4\cdot9}\right)^2=\left(ab+36\right)^2=VP\) Xảy ra khi \(\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}\Rightarrow\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}\Rightarrow b=\dfrac{3a}{2}\) Khi đó \(A=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^2-a\cdot\dfrac{3a}{2}+\left(\dfrac{3a}{2}\right)^2}{a^2+a\cdot\dfrac{3a}{2}+\left(\dfrac{3a}{2}\right)^2}=\dfrac{7}{19}\) xin lỗi bn nhưng bn có thể giải bằng cách khác ko , mk chưa học BĐT Cauchy-Schwart làm cái đề ra ấy, ngại viết lại đề :P \(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)\) \(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\) \(\Rightarrow M=1^{2018}+1^{2019}+1^{2020}=1+1+1=3\)
K
Khách
TQ
Trần Quốc Lộc
3 tháng 12 2017
Đúng(0)
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
23 tháng 3 2018
AW
23 tháng 3 2018
17 tháng 10 2020
CW
10 tháng 7 2017
17 tháng 9 2017
17 tháng 9 2017
20 tháng 2 2020
