Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn xem lời giải tại đây:
cho 100 STN \(a_1,a_2,...,a_{100}\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}} \dfrac{1}{\sqrt{a_2}} ... \dfrac{1}{\sqrt{a_{100}... - Hoc24
Giả sử 100 số tự nhiên đã cho đôi một khác nhau và \(a_1\ge1\),\(a_2\ge2\),..\(a_{100}\ge100\)( vì a là số tự nhiên)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
Ta có điều sau:\(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(\Rightarrow S< 1+2.\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(=1+2.\left(10-1\right)=19\)( trái với giả thiết)
nên có ít nhất 2 trong 100 số đã cho bằng nhau .
\(2a=1-\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}=1-2a\Rightarrow2=4a^2-4a+1\Rightarrow a^2-a=\dfrac{1}{4}\)
\(16a^8=16a^6\left(a^2-a\right)+16a^7=16a^7+4a^6=16a^5\left(a^2-a\right)+20a^6=20a^6+4a^5\)
\(=20a^4\left(a^2-a\right)+24a^5=24a^5+5a^4=24a^3\left(a^2-a\right)+29a^4\)
\(=29a^4+6a^3=29a^2\left(a^2-a\right)+35a^3=35a^3+\dfrac{29}{4}a^2\)
\(=35a\left(a^2-a\right)+\dfrac{169}{4}a^2=\dfrac{169}{4}a^2+\dfrac{35}{4}a=\dfrac{169}{4}\left(a^2-a\right)+51a=\dfrac{169}{16}+51a\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{169}{16}+51a-51a}=\dfrac{13}{4}\)
2/
Với \(a\in Z^+\) , ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{2}{2\sqrt{a}}< \dfrac{2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a}}=2\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=18\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19\left(1\right)\)
Giả sử tất cả các số tự nhiên \(a_k\left(k=1...100\right)\) đều khác nhau và \(a_k\ne0\), không làm mất tính tổng quát, giả sử \(1\le a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge1\\a_2\ge2\\...\\a_{100}\ge100\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}\\\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\...\\\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{100}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}< 19\)
Mâu thuẫn với \(\left(1\right)\Rightarrow\) điều giả sử là sai.
Vậy phải tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
chứng minh = phản chứng . giả sử trong 25 số tự nhiên ko có 2 số nào bằng nhau . ko mất tính tổng quát , giả sử\(a_11,a_22,..,a_{25}25\)
thế thì
\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+..+\frac{1}{\sqrt{25}}\)
ta lại có \(\frac{1}{\sqrt{25}}+..+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{25+\sqrt{25}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)
\(< \frac{2}{\sqrt{24+\sqrt{24}}}+.+\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)
\(=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}+\sqrt{24}-\sqrt{23}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{1}\right)+1=9\left(2\right)\)
từ (1) zà 2 suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}< 9\)trái zới giả thiết , suy ra ko tồn tại 2 số nào = nhau trong 25 số
giả sử trong 36 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử :
\(a_1< a_2< ...< a_{36}\)
Suy ra : \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{36}\ge36\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}\)( 1 )
Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{36}}\)
\(< 1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\frac{2}{\sqrt{36}+\sqrt{35}}\)
\(=1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+...+2\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{36}-\sqrt{1}\right)+1=11\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}< 11\)( trái với giả thiết )
\(\Rightarrow\)tồn tại 2 số bằng nhau trong 36 số tự nhiên đã cho
Giả sử trong 2016 số hạng không có số nào bằng nhau.Không mất tính tổng quát ta giả sử:
\(a_1< a_2< a_3< ...........< a_{2016}\)
Vì \(a_1,a_2,......,a_{2016}\) đều là số nguyên dương nên ta suy ra:
\(a_1\ge1,a_2\ge2,.........,a_{2016}\ge2016\)
Suy ra:\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+.........+\frac{1}{a_{2016}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{2016}\)
\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+.....+\left(\frac{1}{1024}+...+\frac{1}{2016}\right)\)
\(< 1+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2^2}.2^2+.........+\frac{1}{2^{10}}.2^{10}=11< 12\)
Do đó điều giả sử là sai
Vậy trong 2016 số đã cho có ít nhất hai số bằng nhau
Lời giải:Giả sử trong 100 số tự nhiên $a_1,a_2,...,a_{100}$ không có 2 số nào bằng nhau. Khi đó:
\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Mà:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
Do đó \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}< 19\) (trái với giả thiết)
Suy ra điều giả sử là sai. Tức là trong 100 số tự nhiên có 2 số bằng nhau (đpcm)
Bạn có thể xem cách chứng minh \(\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{n}}< 19\) tại đây:
Chứng minh rằng \(2\left(\sqrt{n 1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với \(n\in... - Hoc24