Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}+1\ge2\sqrt{\dfrac{9x}{2-x}.\dfrac{2-x}{x}}+1=2.3+1=7\)
GTNN của A là 7 khi x=0,5
\(A=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x+x}{x}=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}+1\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{9x}{2-x}.\dfrac{2-x}{x}}=2.3=6\)
⇔ \(\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}+1\text{≥}6+1=7\)
⇒ \(A_{Min}=7."="\text{⇔}x=\dfrac{1}{2}\)
A)
Đặt \(\sqrt{1+2x}=a; \sqrt{1-2x}=b\) (\(a,b>0\) )
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=2\\ a^2-b^2=4x=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^2=2+\sqrt{3}\rightarrow 4a^2=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2\\ 2b^2=2-\sqrt{3}\rightarrow 4b^2=4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}; b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
\(\Rightarrow ab=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{4}=\frac{1}{2}; a-b=1\)
Có:
\(A=\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1-b}=\frac{a^2-a^2b+b^2+ab^2}{(1+a)(1-b)}\)
\(=\frac{2-ab(a-b)}{1+(a-b)-ab}=\frac{2-\frac{1}{2}.1}{1+1-\frac{1}{2}}=1\)
B)
\(2x=\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow 4x^2=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\)
\(\rightarrow 4(x^2-1)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{4(x^2-1)}=\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\) do $a>b$
T có: \(B=\frac{b\sqrt{4(x^2-1)}}{x-\sqrt{x^2-1}}=\frac{2b\sqrt{4(x^2-1)}}{2x-\sqrt{4(x^2-1)}}=\frac{2b\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )}{\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )}\)
\(=\frac{2b\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )}{2\sqrt{\frac{b}{a}}}=\frac{b\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )}{\sqrt{\frac{b}{a}}}=\frac{\frac{b(a-b)}{\sqrt{ab}}}{\sqrt{\frac{b}{a}}}=a-b\)
Lời giải:
\(x=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{2a-b}{b}}\Rightarrow ax=\sqrt{\frac{2a-b}{b}}\)
\(\Rightarrow 1+ax=\frac{\sqrt{2a-b}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}}; 1-ax=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{2a-b}}{\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrow \frac{1-ax}{1+ax}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{2a-b}}{\sqrt{b}+\sqrt{2a-b}}=\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{2a-b})^2}{2(b-a)}\)
Lại có:
\(\frac{1+bx}{1-bx}=\frac{a+\sqrt{2ab-b^2}}{a-\sqrt{2ab-b^2}}=\frac{a^2-(2ab-b^2)}{(a-\sqrt{2ab-b^2})^2}=\frac{(a-b)^2}{(a-\sqrt{2ab-b^2})^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1+bx}{1-bx}}=\frac{b-a}{a-\sqrt{2ab-b^2}}\)
Do đó:
$A=\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{2a-b})^2}{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}=\frac{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}=1$
a/ \(P=12\)
b/ \(Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)
c/ Ta có:
\(\frac{P}{Q}=\frac{\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{3x}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi x = 3 (thỏa tất cả các điều kiện )
a. Thay x = 3 vào biểu thức P ta được :
\(p=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}=\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=12\)
b, \(Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)
c, Ta có :
\(\frac{P}{Q}=\frac{\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{3x}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}\)
Vậy GTNN \(\frac{P}{Q}=2\sqrt{3}\) khi và chỉ khi \(x=3\)
C1: Áp dụng bđt Côsi:
\(B=a+a+\frac{1}{8a^2}+\frac{7}{8a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8.\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\)
Đề: Cho \(0< a\le\frac{1}{2}\) . Hãy tìm GTNN của \(B=2a+\frac{1}{a^2}\)
\(------------\)
Ta có:
\(B=2a+\frac{1}{a^2}=\left(a+a+\frac{1}{8a^2}\right)+\frac{7}{8a^2}\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho bộ số có ba số thực không âm gồm \(\left(a;a;\frac{1}{8a^2}\right)\) (theo gt)
nên do đó, ta có thể thiết lập bđt đối với biểu thức \(B\) như sau:
\(B\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8a^2}=1\frac{1}{2}+\frac{7}{8a^2}\)
Kết hợp với điều kiện đã cho \(0< a\le\frac{1}{2}\) , ta suy ra được \(\frac{7}{8a^2}\ge\frac{7}{8\left(\frac{1}{2}\right)^2}=3\frac{1}{2}\)
Vậy, \(B\ge1\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=5\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{1}{2}\)
Vậy, \(B_{min}=5\) khi \(a=\frac{1}{2}\)