Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TL ;
\(A=\frac{\left(x-1\right)^2}{ }\) + \(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\)+ \(\frac{\left(GTNN-1^2\right)}{y}\)
\(A=\left(x-1\right)^2+y2+GTNN+1_{ }\)
\(A=x+2^2:xyz+2^2\frac{x}{y}\)
\(A=x^2xy1zx\)
\(A=x^2+y6\)
\(GTNN=12x\)
Có thể giải bài toán bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz sau đây
Bổ đề. Với mọi số thực \(a,b,c\) và các số dương \(x,y,z\) ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}.\) Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(\left(ya^2+xb^2\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2\ge2abxy\) (Đúng).
Áp dụng bất đẳng thức trên hai lần ta được
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\)
Quay trở lại bài toán, ta có
\(A=\frac{\left(1-x\right)^2}{z}+\frac{\left(1-y\right)^2}{x}+\frac{\left(1-z\right)^2}{y}\ge\frac{\left(1-x+1-y+1-z\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(3-x-y-z\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}.\)
Khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) thì \(A=\frac{1}{2}\). Vậy giá trị bé nhất của \(A\) là \(\frac{1}{2}\).
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
Ta có \(a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=1\)
và \(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có
\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}.2a^2.\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)(1)
Tương tự \(\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2\)(2)
\(\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2\)(3)
từ (1),(2) và (3) ta có \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Vậy Min của \(P=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)Khi x=y=z\(=\sqrt{3}\)
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
1,theo giả thiết => \(x^2+y^2+z^2=x+y+z\)
mà \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)>=\left(x+y+z\right)^2\)(bunhiacopxki)
=>\(x+y+z=< 3\)
ta có:\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}>=\frac{9}{x+y+z+6}=1\)(cauchy schwarz)