Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Ta có : x + y + z = 0 \(\Rightarrow\)( x + y + z )2 = 0 \(\Rightarrow\)x2 + y2 + z2 = - 2 ( xy + yz + xz )\(S=\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2}=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(yz+xz+xy\right)}\)
\(S=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{-4\left(xy+yz+xz\right)-2\left(yz+xz+xy\right)}=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{-6\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{1}{3}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(a^2+b^2-c^2\)
\(=a^2+\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)
a + b + c = 0
=> b + c = -a
\(=a^2-a\left(b-c\right)\)
\(=a\left(a-b+c\right)\)
\(=a\left(a+b+c-2b\right)\)
\(=-2ab\)
Hoàn toàn tương tự ta có :
\(b^2+c^2-a^2=-2bc\)
\(c^2+a^2-b^2=-2ac\)
Từ đó suy ra :
\(M=\frac{\left(-2ab\right)\left(-2bc\right)\left(-2ac\right)}{10a^2b^2c^2}\)
\(M=\frac{-8a^2b^2c^2}{10a^2b^2c^2}\)
\(M=\frac{-4}{5}\)