Question

[Phạm Quang Huy]

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh (SIC) 1 (SED). b) Tính khoảng cách từ điểm 1 đến (SED). c) Tính khoảng cách từ điểm C đến (SED). d) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SED).

Answer 1

[Gia Bao]

3.1. Xác định tọa độ điểm \(S\) và các điểm đã cho

1. Vì \(\left(\right. S A B \left.\right)\) vuông góc với \(\left(\right. A B C D \left.\right)\), mặt phẳng đáy có pháp tuyến \(\mathbf{k} = \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\). Do \(\left(\right. S A B \left.\right)\) chứa đoạn \(A B\) nằm ngang, để \(\left(\right. S A B \left.\right) \bot \left(\right. A B C D \left.\right)\), pháp tuyến \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B}\) phải nằm trong mặt phẳng \(z = 0\) (tức vectơ pháp tuyến có thành phần \(z = 0\)).
2. Tam giác \(S A B\) đều cạnh \(a\). Đoạn \(A B\) chạy từ \(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\) đến \(B \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)\). Muốn \(\left(\right. S A B \left.\right) \bot \left(\right. A B C D \left.\right)\), ta buộc \(\mathbf{n}_{\textrm{ }\textrm{ } S A B} \bot \mathbf{k}\). Đồng thời \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} \bot A B\).
3. • Vì \(A B\) hướng theo trục \(x\), vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)\).
   • Để pháp tuyến \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B}\) vừa vuông góc với \(\left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\) (trục \(z\)) và vừa vuông góc với \(\overset{\rightarrow}{A B}\), thì \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B}\) phải song song trục \(y\). Lấy ví dụ đơn giản:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} = \left(\right. 0 , \textrm{ } 1 , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • Như vậy, plane \(\left(\right. S A B \left.\right)\) có phương trình “\(y = 0\)” (vì chứa \(A B\) ở \(y = 0\), và pháp tuyến là hướng \(O y\)).
4. Điểm \(S\) phải nằm trong plane \(y = 0\), và đồng thời sao cho \(S A = S B = a\). Vậy ta giải:
   \(S = \left(\right. x , \textrm{ } y , \textrm{ } z \left.\right) , y = 0 , S A^{2} = x^{2} + 0^{2} + z^{2} = a^{2} , S B^{2} = \left(\right. x - a \left.\right)^{2} + 0^{2} + z^{2} = a^{2} .\)
   Từ \(S A^{2} = S B^{2}\) ta có
   \(x^{2} + z^{2} = \left(\right. x - a \left.\right)^{2} + z^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x^{2} = x^{2} - 2 a x + a^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } - 2 a x + a^{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \frac{a}{2} .\)
   Thay vào \(x^{2} + z^{2} = a^{2}\):
   \(\left(\right. \frac{a}{2} \left.\right)^{2} + z^{2} = a^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } z^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } z = \pm \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} .\)
   Thông thường ta chọn \(z > 0\). Vậy
   \(\boxed{S = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ }\textrm{ } 0 , \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) .}\)
5. Các điểm đã cho:
6. • \(A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right)\).
   • \(B = \left(\right. a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right)\).
   • \(C = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \left.\right)\).
   • \(D = \left(\right. 0 , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \left.\right)\).
   • \(I\) là trung điểm \(A B\) ⇒
     \(I = \left(\right. \frac{0 + a}{2} , \textrm{ } \frac{0 + 0}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • \(E\) là trung điểm \(B C\) ⇒
     \(E = \left(\right. \frac{a + a}{2} , \textrm{ } \frac{0 + a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. a , \textrm{ } \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)

---

3.2. (a) Chứng minh: \(\left(\right. S I C \left.\right) \bot \left(\right. S E D \left.\right)\)

• Ý nghĩa: Ta cần chứng minh hai mặt phẳng \(\alpha = \left(\right. S I C \left.\right)\) và \(\beta = \left(\right. S E D \left.\right)\) vuông góc. Điều này tương đương với việc pháp tuyến của \(\alpha\) vuông góc với pháp tuyến của \(\beta\).

1. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha = \left(\right. S I C \left.\right)\):
2. • Chọn hai vectơ trong plane \(\left(\right. S I C \left.\right)\):
     \(\overset{\rightarrow}{S I} = I - S = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } - \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) .\) \(\overset{\rightarrow}{S C} = C - S = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) - \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) .\)
   • Pháp tuyến:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} = \overset{\rightarrow}{S I} \times \overset{\rightarrow}{S C} .\)
     Tính nhanh bằng định thức:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \\ \frac{a}{2} & a & - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \mid = \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot a \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot \frac{a}{2} \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 \cdot a - 0 \cdot \frac{a}{2} \left.\right) \mathbf{k} .\)
     Suy ra
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} = \left(\right. \textrm{ } \underset{\frac{\sqrt{3} \textrm{ } a^{2}}{2}}{\underbrace{\textrm{ } a \cdot \frac{\sqrt{3} a}{2} \textrm{ }}} \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } \underset{\textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a^{2}}{4}}{\underbrace{\textrm{ } \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} a}{2} \textrm{ }}} \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a^{2}}{2} , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a^{2}}{4} , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) .\)
     (Bỏ qua hệ số \(a^{2}\), vì chỉ cần tỉ lệ để kiểm tra vuông góc.)
3. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\beta = \left(\right. S E D \left.\right)\):
4. • Chọn hai vectơ trong \(\left(\right. S E D \left.\right)\):
     \(\overset{\rightarrow}{S E} = E - S = \left(\right. a , \textrm{ } \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } \frac{a}{2} , \textrm{ } - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{S D} = D - S = \left(\right. \textrm{ } 0 , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) - \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) = \left(\right. - \textrm{ } \frac{a}{2} , \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) .\)
   • Pháp tuyến:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \overset{\rightarrow}{S E} \times \overset{\rightarrow}{S D} .\)
     Tính nhanh:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a}{2} \\ - \textrm{ } \frac{a}{2} & a & - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a}{2} \mid = \left(\right. \textrm{ } \frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot a \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot \left(\right. - \frac{a}{2} \left.\right) \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \frac{a}{2} \cdot a - \frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{a}{2} \left.\right) \left.\right) \mathbf{k} .\)
     Suy ra từng thành phần:
     Vậy
     \(\boxed{\mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \left(\right. \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right) .}\)
   • • Thành phần \(i\):
       \(\frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot a = - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} .\)
     • Thành phần \(j\) (chú ý dấu “–” trước):
       \(\frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot \left(\right. - \frac{a}{2} \left.\right) = - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} = - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \textrm{ } ,\)
       nhưng có dấu âm ở trước nên
       \(\text{Th} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp}; j = - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \left.\right) = + \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} .\)
     • Thành phần \(k\):
       \(\frac{a}{2} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{a}{2} \left.\right) = \frac{a^{2}}{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4} .\)
5. Kiểm tra vuông góc hai plane \(\left(\right. S I C \left.\right)\) & \(\left(\right. S E D \left.\right)\):
6. • Ta cần \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} \cdot \mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = 0.\)
   • Từ trên:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} = \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) , \mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right) .\)
   • Tích vô hướng:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} \cdot \mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \left.\right) \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \left.\right) \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot \left(\right. \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right) .\)
   • • Thành phần thứ nhất: \(\frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} = \frac{3 \textrm{ } a^{4}}{8} .\)
     • Thành phần thứ hai: \(- \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \times \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} = - \textrm{ } \frac{3 \textrm{ } a^{4}}{8} .\)
     • Cộng lại cho nhau bằng \(0\).
   • Do đó \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} \bot \mathbf{n}_{\textrm{ } S E D}\), nên
     \(\boxed{\left(\right. S I C \left.\right) \bot \left(\right. S E D \left.\right) \textrm{ } .}\)

---

3.3. (b) Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S E D \left.\right)\)

1. Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S E D \left.\right)\) dạng tối giản:
   Từ \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} , \textrm{ } \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right)\) và “nó đi qua điểm \(S = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right)\)”, ta xây dựng phương trình:
   \(\frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \textrm{ } \left(\right. x - \frac{a}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \textrm{ } \left(\right. y - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a^{2}}{4} \textrm{ } \left(\right. z - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) = 0.\)
2. • Chia chung cho \(\frac{a^{2}}{4}\) (để gọn), tức nhân \(\times \frac{4}{a^{2}}\):
     \(\sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. x - \frac{a}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } \left(\right. z - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) = 0.\)
     Mở ngoặc:
     \(\sqrt{3} \textrm{ } x - \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 z - \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2} = 0 \Longrightarrow \sqrt{3} \textrm{ } x + 2 \sqrt{3} \textrm{ } y + 3 z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a = 0 ,\)
     vì \(- \frac{\sqrt{3} a}{2} - \frac{3 \sqrt{3} a}{2} = - 2 \sqrt{3} a .\)
   • Vậy phương trình rút gọn của \(\left(\right. S E D \left.\right)\) là
     \(\boxed{\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0. \textrm{ }}\)
3. Khoảng cách từ \(I = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right)\) đến plane trên:
4. • Thay \(\left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right)\) vào:
     \(\mid \sqrt{3} \textrm{ } \frac{a}{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a \mid = \mid \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a \mid = \mid \textrm{ } - \textrm{ } \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \mid = \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2} .\)
   • Mẫu số (độ dài vectơ \(\left(\right. A , B , C \left.\right)\) = \(\sqrt{3} , \textrm{ } 2 \sqrt{3} , \textrm{ } 3\)) là
     \(\sqrt{\textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3^{2} \textrm{ }\textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 3 + 12 + 9 \textrm{ }} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} .\)
   • Vì thế
     \(d \left(\right. I , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{\frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2}}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }\textrm{ }} = \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2 \cdot 2 \sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{4 \sqrt{6}} = \frac{3 a \sqrt{18}}{4 \cdot 6} = \frac{9 a \sqrt{2}}{24} = \frac{3 a \sqrt{2}}{8} .\)

Kết quả (b):

\(\boxed{d \left(\right. I , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a \sqrt{2}}{8} .}\)

---

3.4. (c) Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S E D \left.\right)\)

• Điểm \(C = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\). Thay vào phương trình
  \(\sqrt{3} \textrm{ } x + 2 \sqrt{3} \textrm{ } y + 3 z - 2 \sqrt{3} a = 0\):
  \(\sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} a = \left(\right. \sqrt{3} a + 2 \sqrt{3} a - 2 \sqrt{3} a \left.\right) = \sqrt{3} \textrm{ } a .\)
  Giá trị tuyệt đối: \(\mid \sqrt{3} \textrm{ } a \mid = a \sqrt{3} .\)
• Mẫu số vẫn là \(2 \sqrt{6}\). Do đó
  \(d \left(\right. C , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } a \sqrt{3} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{18}}{2 \cdot 6} = \frac{3 a \sqrt{2}}{12} = \frac{a \sqrt{2}}{4} .\)

Kết quả (c):

\(\boxed{d \left(\right. C , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{2}}{4} .}\)

---

3.5. (d) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S E D \left.\right)\)

• Điểm \(A = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\). Thay vào phương trình \(\sqrt{3} \textrm{ } x + 2 \sqrt{3} \textrm{ } y + 3 z - 2 \sqrt{3} a = 0\):
  \(\sqrt{3} \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a = - \textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a .\)
  Giá trị tuyệt đối: \(2 a \sqrt{3} .\)
• Mẫu số vẫn là \(2 \sqrt{6}\). Vậy
  \(d \left(\right. A , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }} = \frac{2 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{6}} = a \textrm{ } \sqrt{\frac{3}{6}} = a \textrm{ } \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .\)

Kết quả (d):

\(\boxed{d \left(\right. A , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{2}}{2} .}\)

---

Tóm tắt Câu 33:
a) \(\left(\right. S I C \left.\right) \bot \left(\right. S E D \left.\right)\).
b) \(d \left(\right. I , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{3 a \sqrt{2}}{8} .\)
c) \(d \left(\right. C , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{a \sqrt{2}}{4} .\)
d) \(d \left(\right. A , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{a \sqrt{2}}{2} .\)