Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
xin chân thành cảm ơn 
1. pt (1) \(\Leftrightarrow x^2+y^2=19+xy\)
pt (2) \(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=931\)
\(\Leftrightarrow\left(19+xy\right)^2-x^2y^2=931\)
\(\Leftrightarrow361+38xy+x^2y^2-x^2y^2=931\)
\(\Leftrightarrow xy=15\) thay vào (*) tính được \(x^2+y^2=34\)
\(\Rightarrow\) \(x+y=8\)
Có \(xy=15\) và \(x+y=8\) dễ dàng tìm được x và y
2. \(\left(x+2\right)\sqrt{x+1}=2x+1\) (1) với \(x\ge-1\)
Đặt \(\sqrt{x+1}=t\ge0\)
\(\left(1\right)\Rightarrow\left(t^2+1\right)t=2t^2-1\)
\(\Leftrightarrow t^3-2t^2+t+1=0\)
Tuy nhiên pt này ko có nghiệm ko âm nên ko tìm được giá trị của t
Suy ra pt ban đầu vô nghiệm
day nhe banTa có:\(\frac{1}{\left(k +1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(k+1\right)-k}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}\)
\(< \frac{2\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k+1}\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}}-\frac{2}{\sqrt{k+1}}\)
Cho k=1,2,,,,n rồi cộng vế với vế ta có;
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< \left(\frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)+...\)
\(+\left(\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
Hung nguyen trổ tài đi
Akai Haruma ; Ace Legona ; Bùi Thị Vân