Câu hỏi của Phạm Quang Huy

Question

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 2a AD = 3a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AC. Biết góc giữa (SBC)...

Gia Bao · Accepted Answer

2. Câu 29 (Toán lớp 11)

Đề bài tóm tắt:
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, với
$A B \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } B C \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2 a , A D \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 3 a .$
Điểm $C$ thì thẳng hàng sao cho $B C \parallel A D$. (Theo cấu hình, ta sẽ gán tọa độ cho dễ tính – xem bên dưới.) Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left(\right. A B C D \left.\right)$ là trung điểm $H$ của đoạn $A C$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left(\right. S B C \left.\right)$ và $\left(\right. A B C D \left.\right)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ $H$ đến ba mặt phẳng:
$\left(\right. S A B \left.\right)$.
$\left(\right. S C D \left.\right)$.
$\left(\right. S B D \left.\right)$.

2.1. Lập hệ trục, xác định tọa độ

Mặt phẳng đáy $\left(\right. A B C D \left.\right)$ đặt là mặt phẳng $z = 0$.
Đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, với
$A B = 2 a , B C = 2 a , A D = 3 a , (\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B C \parallel A D ).$
- Ta chọn:
  $A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .$
- Vì $B C \parallel A D$ và $B C = 2 a$, $A D = 3 a$, với các góc tại $A$ và $B$ đều vuông, nên ta gắn
  $D = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , C = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .$
- Thử kiểm tra:
- - $A B$ đi từ $\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$ đến $\left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)$, độ dài $2 a$.
  - $B C$ đi từ $\left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)$ đến $\left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right)$, độ dài $2 a$.
  - $A D$ từ $\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$ đến $\left(\right. 3 a , 0 , 0 \left.\right)$, độ dài $3 a$.
  - $A B \bot A D$ (vì $A B$ dọc theo trục $y$, $A D$ dọc theo trục $x$).
  - $A B \bot B C$ (vì $A B$ dọc $O Y$, $B C$ dọc $O X$), nên góc $B$ cũng vuông.
- Tóm lại, thỏa công thức của hình thang vuông: hai đáy $B C$ và $A D$ đều nằm trên các đoạn song song với trục $x$, cách nhau đoạn $A B$ dài $2 a$.
Tọa độ điểm $H$:
- $H$ là trung điểm của $A C$. Vậy
  $A = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , C = \left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \rightarrow \textrm{ }\textrm{ } H = \left(\right. \frac{0 + 2 a}{2} , \textrm{ } \frac{0 + 2 a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) .$
Điểm $S$ được xác định bởi hai điều kiện:
Tính nhanh:
1. “Hình chiếu vuông góc của $S$ xuống $\left(\right. A B C D \left.\right)$ là $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$.”
  ⇒ $S$ phải có $x = a , \textrm{ }\textrm{ } y = a$, và một giá trị $z = h > 0.$
2. “Góc giữa mặt phẳng $\left(\right. S B C \left.\right)$ và mặt phẳng đáy $\left(\right. A B C D \left.\right)$ bằng $60^{\circ}$.”
3. - Mặt phẳng đáy $\left(\right. A B C D \left.\right)$ là $z = 0$. Vector pháp tuyến $\mathbf{n}_{đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}} = \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)$.
  - Mặt phẳng $\left(\right. S B C \left.\right)$ đi qua ba điểm $S$, $B = \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)$, $C = \left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right)$.
  - Gọi $S = \left(\right. a , a , h \left.\right)$. Ta tìm $h$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng bằng $60^{\circ}$.
- Trong mặt phẳng $\left(\right. S B C \left.\right)$, ta lấy hai vectơ:
  $\overset{\rightarrow}{B C} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } C - B = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) ,$ $\overset{\rightarrow}{B S} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } S - B = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } h \left.\right) - \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } h \textrm{ } \left.\right) .$
- Vector pháp tuyến của $\left(\right. S B C \left.\right)$:
  $\mathbf{n}_{1} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \overset{\rightarrow}{B C} \times \overset{\rightarrow}{B S} = \left(\right. \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) \times \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } h \textrm{ } \left.\right) .$
  Tính trực tiếp:
  $\mathbf{n}_{1} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 a & 0 & 0 \ a & - a & h \mid = \left(\right. 0 \cdot h \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \left(\right. 2 a \left.\right) \cdot h - 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \left(\right. 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) - 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{k} .$
  Suy ra
  $\mathbf{n}_{1} = \left(\right. 0 , \textrm{ } - 2 a h , \textrm{ } - 2 a^{2} \left.\right) .$
- Độ dài $\mid \mathbf{n}_{1} \mid = 2 a \textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} .$
- Vector pháp tuyến của đáy $\left(\right. A B C D \left.\right)$ là $\mathbf{n}_{2} = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 1 \left.\right)$.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai pháp tuyến:
  $cos ⁡ \varphi \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\mid \mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2} \mid}{\mid \mathbf{n}_{1} \mid \textrm{ } \mid \mathbf{n}_{2} \mid} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\mid \left(\right. 0 , \textrm{ } - 2 a h , \textrm{ } - 2 a^{2} \left.\right) \cdot \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right) \mid}{\left(\right. 2 a \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \left.\right) \times 1} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\textrm{ } 2 a^{2} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 a \textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \textrm{ }} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a}{\sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }}} \textrm{ } .$
  Theo đề: $\varphi = 60^{\circ}$. Do đó
  $cos ⁡ 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{\textrm{ } a \textrm{ }}{\sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }}} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2 a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h^{2} + a^{2} = 4 a^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h = a \sqrt{3} \left(\right. \text{l} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{y}\&\text{nbsp}; h > 0 \left.\right) .$
- Vậy
  $S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$

2.2. Tính khoảng cách từ $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$ đến ba mặt phẳng

(a) Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left(\right. S A B \left.\right)$

Xác định phương trình mặt phẳng $\left(\right. S A B \left.\right)$:
- Ba điểm:
  $A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Lấy hai vectơ trong plane:
  $\overset{\rightarrow}{A B} = B - A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , \overset{\rightarrow}{A S} = S - A = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Vectơ pháp tuyến
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} = \overset{\rightarrow}{A B} \times \overset{\rightarrow}{A S} :$
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 2 a & 0 \ a & a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } 2 a \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot a - 2 a \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{k} .$
  Suy ra
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } - 2 a^{2} \textrm{ } \left.\right) .$
- Phương trình mặt phẳng đi qua $A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} \cdot \left(\right. x , y , z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 2 a^{2} \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 2 a^{2} \left.\right) \textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 ,$
  hay rút gọn chia cho $2 a^{2}$:
  $\sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 \Longleftrightarrow z = \sqrt{3} \textrm{ } x .$
Khoảng cách từ $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$ đến plane $\textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} x - z = 0.$
- Công thức khoảng cách từ $\left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right)$ đến $A x + B y + C z + D = 0$ là
  $d = \frac{\mid A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D \mid}{\sqrt{\textrm{ } A^{2} + B^{2} + C^{2} \textrm{ }}} .$
- Ở đây: $A = \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } B = 0 , \textrm{ }\textrm{ } C = - 1 , \textrm{ }\textrm{ } D = 0.$
- Thay $\left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right) = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$:
  $\mid \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot a \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 1 \cdot 0 + 0 \mid = \mid \textrm{ } a \sqrt{3} \mid = a \sqrt{3} .$
- Mẫu số: $\sqrt{\textrm{ } \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 0^{2} + \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 3 + 1 \textrm{ }} = 2.$
- Vậy
  $d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } a \sqrt{3} \textrm{ }}{2} \textrm{ } .$

Kết quả (a):

$\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{3}}{2} .}$

(b) Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left(\right. S C D \left.\right)$

Tọa độ các điểm trên $\left(\right. S C D \left.\right)$:
$C = \left(\right. \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , D = \left(\right. \textrm{ } 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Vectơ $\overset{\rightarrow}{C D} = D - C = \left(\right. 3 a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } 0 - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } 0 - 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .$
- Vectơ $\overset{\rightarrow}{C S} = S - C = \left(\right. a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } a \sqrt{3} - 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Pháp tuyến của plane $\left(\right. S C D \left.\right)$:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \overset{\rightarrow}{C D} \textrm{ } \times \textrm{ } \overset{\rightarrow}{C S} .$
  Tính nhanh:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & - 2 a & 0 \ - a & - a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) - 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a \cdot \left(\right. - a \left.\right) - \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{k} .$
  Suy ra
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \left(\right. \textrm{ } - 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \textrm{ } a^{2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 a^{2} \left.\right) \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - 3 a^{2} \left.\right) .$
  Ta có thể rút gọn $a^{2}$ chung; nhưng chỉ cần tỉ lệ để tính khoảng cách.
Phương trình mặt phẳng $\left(\right. S C D \left.\right)$:
- Dùng dạng chính tắc:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} \cdot \left(\right. \left(\right. x , y , z \left.\right) - C \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.$
- Thế $C = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right)$, và $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \left(\right. - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ }\textrm{ } - \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ }\textrm{ } - 3 a^{2} \left.\right) .$
- Ta có:
  $- 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. x - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 3 a^{2} \textrm{ } \left(\right. z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.$
- Chia cả phương trình cho $- \textrm{ } a^{2}$ (để gọn):
  $2 \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. x - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } z = 0 ,$
  hay
  $2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = 0.$
  Đó là phương trình rút gọn của plane $\left(\right. S C D \left.\right)$.
Khoảng cách từ $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$ đến plane trên:
- Thay vào:
  $2 \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = \left(\right. 2 a \sqrt{3} + a \sqrt{3} - 6 a \sqrt{3} \left.\right) = - \textrm{ } 3 a \sqrt{3} .$
  Giá trị tuyệt đối $\mid - 3 a \sqrt{3} \mid = 3 a \sqrt{3} .$
- Mẫu số:
  $\sqrt{\textrm{ } \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 3^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 4 \cdot 3 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 9 \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 12 + 3 + 9 \textrm{ }} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} .$
- Do đó
  $d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } 3 a \sqrt{3} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }} = \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{3 a \sqrt{3} \textrm{ } \sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3 a \sqrt{18}}{12} = \frac{\textrm{ } 3 a \textrm{ } \left(\right. 3 \sqrt{2} \left.\right) \textrm{ }}{12} = \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .$

Kết quả (b):

$\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .}$

(c) Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left(\right. S B D \left.\right)$

Tọa độ các điểm trên $\left(\right. S B D \left.\right)$:
$B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , D = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Vectơ $\overset{\rightarrow}{B D} = D - B = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. 3 a , \textrm{ } - 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .$
- Vectơ $\overset{\rightarrow}{B S} = S - B = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Pháp tuyến $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \overset{\rightarrow}{B D} \times \overset{\rightarrow}{B S} .$
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 a & - 2 a & 0 \ a & - a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \left(\right. 3 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \left(\right. 3 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot a \left.\right) \mathbf{k} .$
  Suy ra
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \left(\right. \textrm{ } - 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } - 3 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } \left(\right. - 3 a^{2} + 2 a^{2} \left.\right) \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - 3 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - a^{2} \left.\right) .$
- Chia hệ số chung $- \textrm{ } a^{2}$ nếu muốn, nhưng khi tính khoảng cách, ta cần tỉ lệ.
Phương trình mặt phẳng $\left(\right. S B D \left.\right)$:
- Dùng điểm $B = \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)$ và $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \left(\right. - 2 \sqrt{3} a^{2} , \textrm{ } - 3 \sqrt{3} a^{2} , \textrm{ } - a^{2} \left.\right)$.
- Dạng chính tắc:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} \cdot \left(\right. \left(\right. x , y , z \left.\right) - B \left.\right) = 0 \Longleftrightarrow - 2 \sqrt{3} a^{2} \textrm{ } \left(\right. x - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} a^{2} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.$
- Rút gọn chia cho $- \textrm{ } a^{2}$:
  $2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } z = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = 0.$
Khoảng cách từ $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$ đến plane nêu trên:
- Thay $\left(\right. x , y , z \left.\right) = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \left.\right)$ vào vế trái:
  $2 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = \left(\right. 2 a \sqrt{3} + 3 a \sqrt{3} - 6 a \sqrt{3} \left.\right) = - \textrm{ } a \sqrt{3} .$
  Giá trị tuyệt đối: $\mid - \textrm{ } a \sqrt{3} \mid = a \sqrt{3} .$
- Mẫu số:
  $\sqrt{\textrm{ } \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + \left(\right. 3 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 1^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 12 + 27 + 1 \textrm{ }} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} .$
- Vậy
  $d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } a \sqrt{3} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{10} \textrm{ }} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{10}} = \frac{a \sqrt{30}}{20} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \sqrt{3} / \sqrt{10} = \sqrt{30} / 10 \left.\right) .$

Kết quả (c):

$\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{30}}{20} .}$

Tóm tắt Câu 29:

$d \left(\right. H , \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{3}}{2} .$
$d \left(\right. H , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .$
$d \left(\right. H , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{30}}{20} .$

Câu trả lời:

2. Câu 29 (Toán lớp 11)

Đề bài tóm tắt:
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, với
$A B \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } B C \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2 a , A D \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 3 a .$
Điểm $C$ thì thẳng hàng sao cho $B C \parallel A D$. (Theo cấu hình, ta sẽ gán tọa độ cho dễ tính – xem bên dưới.) Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left(\right. A B C D \left.\right)$ là trung điểm $H$ của đoạn $A C$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left(\right. S B C \left.\right)$ và $\left(\right. A B C D \left.\right)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ $H$ đến ba mặt phẳng:
$\left(\right. S A B \left.\right)$.
$\left(\right. S C D \left.\right)$.
$\left(\right. S B D \left.\right)$.

2.1. Lập hệ trục, xác định tọa độ

Mặt phẳng đáy $\left(\right. A B C D \left.\right)$ đặt là mặt phẳng $z = 0$.
Đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, với
$A B = 2 a , B C = 2 a , A D = 3 a , (\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B C \parallel A D ).$
- Ta chọn:
  $A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .$
- Vì $B C \parallel A D$ và $B C = 2 a$, $A D = 3 a$, với các góc tại $A$ và $B$ đều vuông, nên ta gắn
  $D = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , C = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .$
- Thử kiểm tra:
- - $A B$ đi từ $\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$ đến $\left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)$, độ dài $2 a$.
  - $B C$ đi từ $\left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)$ đến $\left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right)$, độ dài $2 a$.
  - $A D$ từ $\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$ đến $\left(\right. 3 a , 0 , 0 \left.\right)$, độ dài $3 a$.
  - $A B \bot A D$ (vì $A B$ dọc theo trục $y$, $A D$ dọc theo trục $x$).
  - $A B \bot B C$ (vì $A B$ dọc $O Y$, $B C$ dọc $O X$), nên góc $B$ cũng vuông.
- Tóm lại, thỏa công thức của hình thang vuông: hai đáy $B C$ và $A D$ đều nằm trên các đoạn song song với trục $x$, cách nhau đoạn $A B$ dài $2 a$.
Tọa độ điểm $H$:
- $H$ là trung điểm của $A C$. Vậy
  $A = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , C = \left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \rightarrow \textrm{ }\textrm{ } H = \left(\right. \frac{0 + 2 a}{2} , \textrm{ } \frac{0 + 2 a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) .$
Điểm $S$ được xác định bởi hai điều kiện:
Tính nhanh:
1. “Hình chiếu vuông góc của $S$ xuống $\left(\right. A B C D \left.\right)$ là $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$.”
  ⇒ $S$ phải có $x = a , \textrm{ }\textrm{ } y = a$, và một giá trị $z = h > 0.$
2. “Góc giữa mặt phẳng $\left(\right. S B C \left.\right)$ và mặt phẳng đáy $\left(\right. A B C D \left.\right)$ bằng $60^{\circ}$.”
3. - Mặt phẳng đáy $\left(\right. A B C D \left.\right)$ là $z = 0$. Vector pháp tuyến $\mathbf{n}_{đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}} = \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)$.
  - Mặt phẳng $\left(\right. S B C \left.\right)$ đi qua ba điểm $S$, $B = \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)$, $C = \left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right)$.
  - Gọi $S = \left(\right. a , a , h \left.\right)$. Ta tìm $h$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng bằng $60^{\circ}$.
- Trong mặt phẳng $\left(\right. S B C \left.\right)$, ta lấy hai vectơ:
  $\overset{\rightarrow}{B C} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } C - B = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) ,$ $\overset{\rightarrow}{B S} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } S - B = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } h \left.\right) - \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } h \textrm{ } \left.\right) .$
- Vector pháp tuyến của $\left(\right. S B C \left.\right)$:
  $\mathbf{n}_{1} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \overset{\rightarrow}{B C} \times \overset{\rightarrow}{B S} = \left(\right. \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) \times \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } h \textrm{ } \left.\right) .$
  Tính trực tiếp:
  $\mathbf{n}_{1} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 a & 0 & 0 \ a & - a & h \mid = \left(\right. 0 \cdot h \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \left(\right. 2 a \left.\right) \cdot h - 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \left(\right. 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) - 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{k} .$
  Suy ra
  $\mathbf{n}_{1} = \left(\right. 0 , \textrm{ } - 2 a h , \textrm{ } - 2 a^{2} \left.\right) .$
- Độ dài $\mid \mathbf{n}_{1} \mid = 2 a \textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} .$
- Vector pháp tuyến của đáy $\left(\right. A B C D \left.\right)$ là $\mathbf{n}_{2} = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 1 \left.\right)$.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai pháp tuyến:
  $cos ⁡ \varphi \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\mid \mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2} \mid}{\mid \mathbf{n}_{1} \mid \textrm{ } \mid \mathbf{n}_{2} \mid} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\mid \left(\right. 0 , \textrm{ } - 2 a h , \textrm{ } - 2 a^{2} \left.\right) \cdot \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right) \mid}{\left(\right. 2 a \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \left.\right) \times 1} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\textrm{ } 2 a^{2} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 a \textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \textrm{ }} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a}{\sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }}} \textrm{ } .$
  Theo đề: $\varphi = 60^{\circ}$. Do đó
  $cos ⁡ 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{\textrm{ } a \textrm{ }}{\sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }}} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2 a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h^{2} + a^{2} = 4 a^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h = a \sqrt{3} \left(\right. \text{l} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{y}\&\text{nbsp}; h > 0 \left.\right) .$
- Vậy
  $S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$

2.2. Tính khoảng cách từ $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$ đến ba mặt phẳng

(a) Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left(\right. S A B \left.\right)$

Xác định phương trình mặt phẳng $\left(\right. S A B \left.\right)$:
- Ba điểm:
  $A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Lấy hai vectơ trong plane:
  $\overset{\rightarrow}{A B} = B - A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , \overset{\rightarrow}{A S} = S - A = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Vectơ pháp tuyến
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} = \overset{\rightarrow}{A B} \times \overset{\rightarrow}{A S} :$
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 2 a & 0 \ a & a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } 2 a \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot a - 2 a \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{k} .$
  Suy ra
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } - 2 a^{2} \textrm{ } \left.\right) .$
- Phương trình mặt phẳng đi qua $A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} \cdot \left(\right. x , y , z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 2 a^{2} \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 2 a^{2} \left.\right) \textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 ,$
  hay rút gọn chia cho $2 a^{2}$:
  $\sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 \Longleftrightarrow z = \sqrt{3} \textrm{ } x .$
Khoảng cách từ $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$ đến plane $\textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} x - z = 0.$
- Công thức khoảng cách từ $\left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right)$ đến $A x + B y + C z + D = 0$ là
  $d = \frac{\mid A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D \mid}{\sqrt{\textrm{ } A^{2} + B^{2} + C^{2} \textrm{ }}} .$
- Ở đây: $A = \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } B = 0 , \textrm{ }\textrm{ } C = - 1 , \textrm{ }\textrm{ } D = 0.$
- Thay $\left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right) = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$:
  $\mid \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot a \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 1 \cdot 0 + 0 \mid = \mid \textrm{ } a \sqrt{3} \mid = a \sqrt{3} .$
- Mẫu số: $\sqrt{\textrm{ } \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 0^{2} + \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 3 + 1 \textrm{ }} = 2.$
- Vậy
  $d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } a \sqrt{3} \textrm{ }}{2} \textrm{ } .$

Kết quả (a):

$\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{3}}{2} .}$

(b) Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left(\right. S C D \left.\right)$

Tọa độ các điểm trên $\left(\right. S C D \left.\right)$:
$C = \left(\right. \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , D = \left(\right. \textrm{ } 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Vectơ $\overset{\rightarrow}{C D} = D - C = \left(\right. 3 a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } 0 - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } 0 - 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .$
- Vectơ $\overset{\rightarrow}{C S} = S - C = \left(\right. a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } a \sqrt{3} - 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Pháp tuyến của plane $\left(\right. S C D \left.\right)$:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \overset{\rightarrow}{C D} \textrm{ } \times \textrm{ } \overset{\rightarrow}{C S} .$
  Tính nhanh:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & - 2 a & 0 \ - a & - a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) - 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a \cdot \left(\right. - a \left.\right) - \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{k} .$
  Suy ra
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \left(\right. \textrm{ } - 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \textrm{ } a^{2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 a^{2} \left.\right) \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - 3 a^{2} \left.\right) .$
  Ta có thể rút gọn $a^{2}$ chung; nhưng chỉ cần tỉ lệ để tính khoảng cách.
Phương trình mặt phẳng $\left(\right. S C D \left.\right)$:
- Dùng dạng chính tắc:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} \cdot \left(\right. \left(\right. x , y , z \left.\right) - C \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.$
- Thế $C = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right)$, và $\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \left(\right. - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ }\textrm{ } - \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ }\textrm{ } - 3 a^{2} \left.\right) .$
- Ta có:
  $- 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. x - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 3 a^{2} \textrm{ } \left(\right. z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.$
- Chia cả phương trình cho $- \textrm{ } a^{2}$ (để gọn):
  $2 \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. x - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } z = 0 ,$
  hay
  $2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = 0.$
  Đó là phương trình rút gọn của plane $\left(\right. S C D \left.\right)$.
Khoảng cách từ $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$ đến plane trên:
- Thay vào:
  $2 \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = \left(\right. 2 a \sqrt{3} + a \sqrt{3} - 6 a \sqrt{3} \left.\right) = - \textrm{ } 3 a \sqrt{3} .$
  Giá trị tuyệt đối $\mid - 3 a \sqrt{3} \mid = 3 a \sqrt{3} .$
- Mẫu số:
  $\sqrt{\textrm{ } \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 3^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 4 \cdot 3 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 9 \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 12 + 3 + 9 \textrm{ }} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} .$
- Do đó
  $d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } 3 a \sqrt{3} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }} = \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{3 a \sqrt{3} \textrm{ } \sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3 a \sqrt{18}}{12} = \frac{\textrm{ } 3 a \textrm{ } \left(\right. 3 \sqrt{2} \left.\right) \textrm{ }}{12} = \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .$

Kết quả (b):

$\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .}$

(c) Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left(\right. S B D \left.\right)$

Tọa độ các điểm trên $\left(\right. S B D \left.\right)$:
$B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , D = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Vectơ $\overset{\rightarrow}{B D} = D - B = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. 3 a , \textrm{ } - 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .$
- Vectơ $\overset{\rightarrow}{B S} = S - B = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .$
- Pháp tuyến $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \overset{\rightarrow}{B D} \times \overset{\rightarrow}{B S} .$
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 a & - 2 a & 0 \ a & - a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \left(\right. 3 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \left(\right. 3 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot a \left.\right) \mathbf{k} .$
  Suy ra
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \left(\right. \textrm{ } - 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } - 3 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } \left(\right. - 3 a^{2} + 2 a^{2} \left.\right) \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - 3 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - a^{2} \left.\right) .$
- Chia hệ số chung $- \textrm{ } a^{2}$ nếu muốn, nhưng khi tính khoảng cách, ta cần tỉ lệ.
Phương trình mặt phẳng $\left(\right. S B D \left.\right)$:
- Dùng điểm $B = \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)$ và $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \left(\right. - 2 \sqrt{3} a^{2} , \textrm{ } - 3 \sqrt{3} a^{2} , \textrm{ } - a^{2} \left.\right)$.
- Dạng chính tắc:
  $\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} \cdot \left(\right. \left(\right. x , y , z \left.\right) - B \left.\right) = 0 \Longleftrightarrow - 2 \sqrt{3} a^{2} \textrm{ } \left(\right. x - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} a^{2} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.$
- Rút gọn chia cho $- \textrm{ } a^{2}$:
  $2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } z = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = 0.$
Khoảng cách từ $H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)$ đến plane nêu trên:
- Thay $\left(\right. x , y , z \left.\right) = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \left.\right)$ vào vế trái:
  $2 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = \left(\right. 2 a \sqrt{3} + 3 a \sqrt{3} - 6 a \sqrt{3} \left.\right) = - \textrm{ } a \sqrt{3} .$
  Giá trị tuyệt đối: $\mid - \textrm{ } a \sqrt{3} \mid = a \sqrt{3} .$
- Mẫu số:
  $\sqrt{\textrm{ } \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + \left(\right. 3 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 1^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 12 + 27 + 1 \textrm{ }} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} .$
- Vậy
  $d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } a \sqrt{3} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{10} \textrm{ }} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{10}} = \frac{a \sqrt{30}}{20} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \sqrt{3} / \sqrt{10} = \sqrt{30} / 10 \left.\right) .$

Kết quả (c):

$\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{30}}{20} .}$

Tóm tắt Câu 29:

$d \left(\right. H , \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{3}}{2} .$
$d \left(\right. H , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .$
$d \left(\right. H , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{30}}{20} .$

2.1. Lập hệ trục, xác định tọa độ

2.2. Tính khoảng cách từ \(H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\) đến ba mặt phẳng

(a) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\)

(b) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\)

(c) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B D \left.\right)\)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

2.1. Lập hệ trục, xác định tọa độ

2.2. Tính khoảng cách từ \(H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\) đến ba mặt phẳng

(a) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\)

(b) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\)

(c) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B D \left.\right)\)

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP