Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(DK:x\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(3\sqrt{x-2}-3\right)+\left(3-\sqrt{x+6}\right)-\left(2x-6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(x-3\right)}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{x-3}{3+\sqrt{x+6}}-2\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{3}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{1}{3+\sqrt{x+6}}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\left(1\right)\\\frac{3}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{1}{3+\sqrt{x+6}}-2=0\left(2\right)\end{cases}}\)
PT(2) khac khong voi moi \(x\ge2\)
Vay nghiem cua PT la \(x=3\)
\(x^3+2x=y^2-2009\)
\(\Leftrightarrow x^3-x=y^2-3x-2009\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)=y^2-3x-2009\)
Dễ thấy VT chia hết cho 3 nên VP chia hết cho 3
Suy ra \(y^2\) chia 3 dư 2 vì 2009 chia 3 dư 2 và 3x chia hết cho 3 ( vô lý vì số chính phương ko chia 3 dư 2 )
Vậy pt vô nghiệm
Có \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\)(BĐT Bunhiacopxki)
\(=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)>1\)
Vậy bài toán ko giải đc; Nếu mk làm sai thì thứ lỗi vì mk năm nay mới lên lớp 8
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
ta chứng minh
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge1\)
Thật vậy \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=1\)
=>( dpcm)
234567890vvi hai thia com bang chin bat loa vi vay nen ban kick cho minh
\(\frac{a^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{\sqrt{ab^2}}{2}=a-\frac{\sqrt{ab.b}}{2}\ge a-\frac{ab+b}{4}\)
CMTT: \(VT\ge2.\left(a+b+c-\frac{a+b+c+ab+cb+ca}{4}\right)\)
Ta lại có \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\left(a+b+c\right)\)
=> \(ab+bc+ca\le a+b+c\)
=> \(VT\ge2\left(a+b+c-\frac{a+b+c}{2}\right)=a+b+c\left(dpcm\right)\)
Dấu bằng khi a=b=c=1
Mình có một cách khác. Các bạn xem nhé!
Đặt a = b = c . Ta có:
\(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}=\frac{2a^2}{a+a^2}+\frac{2a^2}{a+a^2}+\frac{2a^2}{a+a^2}=3\left(\frac{2a^2}{a^3}\right)\ge a^3\)(Do a = b = c nên ta thế a,b,c = a)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2}{a^3}+\frac{2b^2}{b^3}+\frac{2c^2}{c^3}=\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a^2.b^2.c^2\right):\left(a+b+c\right)}=\frac{6}{2}=3\)
\(\Rightarrow\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}>a+b+c^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu = xảy ra khi a =b = c = 1
Ta có : \(\left(x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)=2017\left(1\right)\)
\(\left(y+\sqrt{y^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\left(2\right)\)
nhân theo vế của ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có :
\(2017\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017^2\)
\(\Rightarrow\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\)
rồi bạn nhân ra , kết hợp với việc nhân biểu thức ở phần trên xong cộng từng vế , cuối cùng ta đc :
\(xy+\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017-xy\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+2017\left(x^2+y^2\right)+2017^2=2017^2-2\cdot2017xy+x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=-2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\Rightarrow x=-y\)
A = 2017
( phần trên mk lười nên không nhân ra, bạn giúp mk nhân ra nha :) )
2/ \(\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}+\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}+\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-2011-4\sqrt{x-2011}+4}{x-2011}\right)+\left(\frac{y-2012-4\sqrt{y-2012}+4}{y-2012}\right)+\left(\frac{z-2013-4\sqrt{z-2013}+4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-2011}-2\right)^2}{x-2011}+\frac{\left(\sqrt{y-2012}-2\right)^2}{y-2012}+\frac{\left(\sqrt{z-2013}-2\right)^2}{z-2013}=0\)
Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x-2011}=2;\sqrt{y-2012}=2;\sqrt{z-2013}=2\)
\(\Leftrightarrow x=2015;y=2016;z=2017\)
~ ~ ~
\(A=\sqrt{\dfrac{37}{4}-\sqrt{49+12\sqrt{5}}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{37}{4}-\sqrt{\left(3\sqrt{5}+2\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{29}{4}-3\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{29-12\sqrt{5}}{4}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}{4}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}}{2}-\dfrac{3}{4}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\dfrac{3}{2}\right)\)
\(>\sqrt{5}-\dfrac{3}{2}=B\)
~ ~ ~
\(C=\dfrac{16\sqrt{36}-20\sqrt{48}+10\sqrt{3}}{\sqrt{12}}\)
\(=\dfrac{96-80\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{\sqrt{12}}\)
\(=\dfrac{96-70\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(=16\sqrt{3}-35\)
\(>16\sqrt{3}-36=B\)
~ ~ ~
\(\left(a^2+b^2\right)^3=a^6+3a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+b^6=a^6+b^6+3a^2b^2=1\) \(\left(a^3+b^3\right)^2=a^6+2a^3b^3+b^6=1\) =>3a2b2=2a3b3 <=> a2b2(2ab-3)=0 <=> a=0 hoặc b=0 hoặc 2ab=3 Nếu a=0=> b2=1 và b3=-1 => b=-1 => S=-1 Nếu b=0=> a2=1 và a3=-1 => a=-1 => S=1 Nếu 2ab=3 => (a-b)2=-2 => không thỏa mãn Vậy .....