Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^4+y^2\geq 2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(1)\)
\(x^2+y^4\geq 2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2\Rightarrow \frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
Vậy \(A_{\max}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1}=4(*)\)
(do \(x+y\leq 1\) )
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}=2(**)\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(***)\)
Cộng \((*)+(**)+(***)\Rightarrow B\geq 4+2+5=11\)
Vậy \(B_{\min}=11\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\left(\dfrac{1}{4xy}+4xy\right)+\dfrac{5}{4xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+2+\dfrac{5}{4}.\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=4+2+5=11\)
Vậy GTNN là P = 11 đạt được khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
chi tiết hơn dk ko bạn tại đùng một cái ra =4+2+5=11 luôn mình ko hiểu bạn giải nốt phần cuối dk ko
Áp dụng BĐT Cauchy và Cauchy - Schwarz ta có:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy\cdot\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{1^2}=4+2+5=11\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
Lời giải:
Ta có:
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}-4xy=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}-4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)[(x^2+y^2)+2xy]\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}=4(1)\)
Áp dụng BĐT Cô-si: \(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow 1-4xy\geq 0\)
Do đó:
\(\frac{1}{4xy}-4xy=\frac{1-(16x^2y^2)}{4xy}=\frac{(1-4xy)(1+4xy)}{4xy}\geq 0(2)\)
\(xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+0+5=9\)
Vậy \(P_{\min}=9\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)