Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3.
\(x-2y+1=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)
\(y'=\frac{2}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow\frac{2}{\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=1\\x=-3\Rightarrow y=3\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)+1\\y=\frac{1}{2}\left(x+3\right)+3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\left(l\right)\\y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
4.
\(\lim\limits\frac{\sqrt{2n^2+1}-3n}{n+2}=\lim\limits\frac{\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}-3}{1+\frac{2}{n}}=\sqrt{2}-3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\)
5.
\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{2\left(x^2-a^2\right)+a\left(a+1\right)-\left(a+1\right)x}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\left(x-a\right)\left(2x+2a\right)-\left(a+1\right)\left(x-a\right)}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\left(x-a\right)\left(2x+a-1\right)}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{2x+a-1}{x+a}=\frac{3a-1}{2a}\)
1.
\(f'\left(x\right)=-3x^2+6mx-12=3\left(-x^2+2mx-4\right)=3g\left(x\right)\)
Để \(f'\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in R\) \(\Leftrightarrow g\left(x\right)\le0;\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-4\le0\Rightarrow-2\le m\le2\)
\(\Rightarrow m=\left\{-1;0;1;2\right\}\)
2.
\(f'\left(x\right)=\frac{m^2-20}{\left(2x+m\right)^2}\)
Để \(f'\left(x\right)< 0;\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-20< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{20}< m< \sqrt{20}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=\left\{1;2;3;4\right\}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si liên tục 2 lần ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
\(2\cdot\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Hay ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác ABC đều
(la) A E D B C G F c b
Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b,}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c,}t=\frac{BF}{FC}\)
Khi đó, \(\overrightarrow{AE}=p,\overrightarrow{AD}=q\overrightarrow{c},p,q\in\left(0;1\right)\) và
\(\overrightarrow{AF}=\frac{t\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}}{1+t};\overrightarrow{AG}=\frac{t\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}{1+t}=\frac{tq\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}}{1+t}\)
Mặt khác, do BE = tCD suy a \(\left(1-p\right)\left|b\right|=t\left(1-q\right)\left|\overrightarrow{c}\right|\)
Từ đó, với chú ý đường phân giác \(l_a\) có vec tơ chỉ phương là \(\frac{\overrightarrow{c}}{\left|\overrightarrow{c}\right|}+\frac{\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\)
Suy ra :
\(\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AG}=\frac{t\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}}{1+t}-\frac{tq\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}}{1+t}\)
\(=\frac{t\left(1-q\right)}{1+t}.\overrightarrow{c}+\frac{1-p}{1+t}.\overrightarrow{b}\)
\(=\frac{\left(1-q\right)\left|b\right|}{1+t\overrightarrow{ }}\left(\frac{\overrightarrow{c}}{\left|\overrightarrow{c}\right|}+\frac{\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\right)=\frac{\left(1-q\right)\left|\overrightarrow{b}\right|}{1+t}.\overrightarrow{AL}\)
=> Điều phải chứng minh
Từ giả thiết suy ra với mọi điểm O đều có :
\(\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\), \(\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OE}\right)\Rightarrow\overrightarrow{OI}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}\right)\)
\(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\), \(\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}\right)\Rightarrow\overrightarrow{OJ}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}\right)\)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow{JI}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}\right)\Rightarrow\) IJ // CD => Điều phải chứng minh