Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=4-\sqrt{15}\)
Vì \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+1=0\)nên:
\(a\left(4-\sqrt{15}\right)^2+b\left(4-\sqrt{15}\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(31-8\sqrt{15}\right)+4b-\sqrt{15}b+1=0\)
\(\Leftrightarrow31a-8\sqrt{15}a+4b-\sqrt{15}b+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)=31a+4b+1\)
Do a b, là các số hữu tỉ nên \(31a+4b+1\)và \(8a+b\) là các số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)\)là số hữu tỉ
Do đó \(\hept{\begin{cases}8a+b=0\\31a+4b+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-8\end{cases}}\)
Vậy a = 1; b = -8
giả sử \(x=\left(\sqrt{2}+1\right)^2=3+2\sqrt{2}\) là một nghiệm của pt \(ax^2+bx+c=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(3+2\sqrt{2}\right)^2+b\left(3+2\sqrt{2}\right)+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(17a+3b+c\right)+2\left(6a+b\right)\sqrt{2}=0\)
Nếu \(6a+b\ne0\Rightarrow\sqrt{2}=-\frac{17a+3b+c}{2\left(6a+b\right)}\inℚ\) (vô lý)
\(\Rightarrow17a+3b+c=6a+b=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-6a\\c=a\end{cases}}\)
Thay b và c vào pt đã cho ta được: \(\left(x^2-6x+1\right)\left(x^2-6x+1\right)=0\)
pt này có hai nghiệm là: \(\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{2}\\x=3-2\sqrt{2}\end{cases}}\)
Ta có \(\Delta=b^2-4ac=\left(a+c\right)^2-4ac=\left(a-c\right)^2\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{-b+a-c}{2a};x_2=\frac{-b-a+c}{2a}\in Q.\)
đặt \(a=1-\sqrt{2}\),ta có
\(1-a=\sqrt{2}\)\(\Rightarrow\left(1-a\right)^2=2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1=2\Rightarrow a^2-2a-1=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-1=0\)nhận \(1-\sqrt{2}\)là nghiệm
\(\Rightarrow b=-2;c=-1\)
Do pt có nghiệm là \(\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{2}\right)^3-a.\left(\sqrt{2}\right)^2+b\sqrt{2}+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+2\right)\sqrt{3}+3-2a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+2\right)\sqrt{3}=2a-3\)
Do a;b hữu tỉ nên VP là 1 số hữu tỉ \(\Rightarrow VT\) hữu tỉ
Mà \(\sqrt{3}\) vô tỉ \(\Rightarrow\left(b+2\right)\sqrt{3}\) hữu tỉ khi và chỉ khi \(b+2=0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3}{2}\\b=-2\end{matrix}\right.\)
Phương trình trở thành: \(x^3-\frac{3}{2}x^2-2x+3=0\)
\(\Leftrightarrow2x^3-3x^2-4x+6=0\)
\(\Leftrightarrow2x\left(x^2-2\right)-3\left(x^2-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(x^2-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{3}{2}\\x=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm hữu tỉ là \(x=\frac{3}{2}\)