Question

[Mai Thành Đạt]

Biết \(\left(x;y;z\right)\) là nghiệm của phương trình:\(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\).Tính tổng \(x+y+z\)

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

x;y;z là nghiệm của PT: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\)=> đk: x >=0; y >= 1 ; z >= 2.

Ta có:

•  \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Rightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\)(a)
• Tương tự: \(\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\)(b)
• và: \(\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}=\frac{z-1}{2}\)(c)
• Do đó: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+1+y+z-1}{2}=\frac{x+y+z}{2}\)hay VT(1) <= VP(1) với mọi x;y;z.

Vậy để (1) thỏa mãn thì dấu "=" xảy ra hay các BĐT (a); (b); (c) xảy ra. Khi đó, x = 1; y = 2; z = 3.