Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: ( √a - √b)² ≥ 0 ( voi moi a , b ≥ 0 )
<=> a - 2√ab + b ≥ 0
<=> a + b ≥ 2√ab
<=> (a + b)/2 ≥ √ab
dau "=" xay ra khi √a - √b = 0 <=> a = b
\(a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) (đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b=1\)
\(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\le2\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2\le a^3+b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng BĐT Cô si cho a,b>0 ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
\(9+ab\ge2.3\sqrt{ab}\)(2)
Từ (1) và (2) Suy ra:
\(\left(a+b\right)\left(9+ab\right)\ge12ab\)
\(\Rightarrow a+b\ge\frac{12ab}{9+ab}\)
\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-a+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}-\dfrac{a-b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{a-c}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{a-c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\cdot\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{2}\cdot\dfrac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{2}\left(\dfrac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
Câu đầu tiên áp dụng BĐT Cô si cho dưới mẫu.Câu thứ hai áp dụng BĐT Cô si cho vế trái (biểu thức trong ngoặc)?Có đc ko ạ?
1.Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a^4+1\ge2a^2\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{a^2}{2a^2}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(a=1\)
2.Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(a=b\)
:))