Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(a+b=a^2+b^2=a^3+b^3\)
\(\Rightarrow a+b+a^3+b^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2a^2+a^3\right)+\left(b-2b^2+b^3\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(1-2a+a^2\right)+b\left(1-2b+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(1-a\right)^2+b\left(1-b\right)^2=0\left(1\right)\)
Vì : \(a>0;\left(1-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a\left(1-a\right)^2\ge0\)
Vì : \(b>0;\left(1-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow b\left(1-b\right)^2\ge0\)
Do đó :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(1-a\right)^2=0\\b\left(1-b\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1-a=0\\1-b=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=1}\)
Khi đó : \(a^{2015}+b^{2015}=1^{2015}+1^{2015}=2\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(\Leftrightarrow a^2-a+b^2-b=a^3-a+b^3-b=0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)-a\left(a-1\right)=b\left(b-1\right)-b^2\left(b-1\right)\)
\(\Leftrightarrow-a\left(a-1\right)^2=b\left(b-1\right)^2\)
Vì \(A^2\ge0\) và a,b>0 =>
\(-a\left(a-1\right)^2\le0\) và \(b\left(b-1\right)^2\ge0\)
=> a-1=b-1=0
=> a=1 và b=1
=> GT của BT trên = 2
a) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà a + b + c = 3 \(\Rightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow M=1+2015+2020\)\(=4036\)
b) \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)< \left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[x^2+y^2-\left(x+y\right)\left(x+y\right)\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-x^2-2xy-y^2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-2xy\left(x-y\right)< 0\)
Có \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
\(\Rightarrow-2xy< 0\)
\(\Leftrightarrow xy>0\)
TH1: \(\orbr{\begin{cases}x>0\\y>0\end{cases}}\)( thỏa mãn )
TH2:\(\orbr{\begin{cases}x< 0\\y< 0\end{cases}}\)( loại )
Vậy bđt được chứng minh
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
Mà \(a^3+b^3=a+b\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a+b\)
\(\Rightarrow a^2-ab+b^2=1\)
Mà \(a^2+b^2=a+b\)
\(\Rightarrow a-1-ab+b=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)-b\left(a-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\1-b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)
Thay a = 1, b=1 vaò biểu thức \(a^{2015}+b^{2015}\) ,có :
\(1^{2015}+1^{2015}=1+1=2\)
Vậy ............
Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a+b+c=0\\a=b=c\end{array}\right.\)
Từ đó tính được N
Vì : a > 0 , b > 0 => a2 > 0 , b2 > 0 => a3 > 0 , b3 > 0
Mà : a + b = a2 + b2 = a3 + b3
Nên : a + b = 0
=> a = 0 , b = 0
=> P = a2011 + b2015 = 0 + 0 = 0
Có: \(a+b=a^2+b^2=a^3+b^3\)
\(\Rightarrow a+b+a^3+b^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2a^2+a^3\right)+\left(b-2b^2+b^3\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(1-2a+a^2\right)+b\left(1-2b+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(1-a\right)^2+b\left(1-b\right)^2=0\) (1)
Vì: \(a>0;\left(1-a\right)^2\ge0\)
=> \(a\left(1-a\right)^2\ge0\)
Vì: \(b>0;\left(1-b\right)^2\ge0\)
=> \(b\left(1-b\right)^2\ge0\)
Do đó:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}a\left(1-a\right)^2=0\\b\left(1-b\right)^2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}1-a=0\\1-b=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow a=b=1\)
Khi đó; \(a^{2015}+b^{2015}=1^{2015}+1^{2015}=2\)
cảm ơn bn nhiều!!!