Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A\left(a;a^3-3a^2+2\right);B\left(b;b^3-3b^2+2\right);a\ne b\)
Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B là :
\(k_A=y'\left(x_A\right)=3a^2-6a;k_B=y'\left(x_B\right)=3b^2-6b\)
Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi \(k_A=k_B\)
\(\Leftrightarrow3a^2-6a=3b^2-6b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b=2-a\)
Độ dài đoạn AB là :
\(AB=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left[a^3-b^3-3\left(a^2-b^2\right)\right]^2}\)
\(=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)^2.\left[a^2+ab+b^2-3\left(a+b\right)\right]^2}\)
\(=\sqrt{4\left(a-1\right)^2+4\left(a-1\right)^2\left[\left(a-1\right)^2-3\right]^2}\)
Đăth \(\left(a-1\right)^2=t\) mà \(AB=4\sqrt{2}\Leftrightarrow t+t\left(1-3\right)^2=8\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t^2-2t+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t=4\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-1=2\\a-1=-2\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=3\\a=-1\end{array}\right.\)
* Với \(a=3\Rightarrow b=-1\Rightarrow A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)
* Với \(a=1\Rightarrow b=3\Rightarrow A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\)
Vậy \(A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\) hoặc \(A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
\(mx+2m+1-\frac{2x+1}{x+1}=0\Leftrightarrow mx^2+x(3m-1)+2m=0\)
Để hai ĐTHS cắt nhau tại hai điểm $A,B$ thì \(m\neq 0\) và:
\(\Delta=(3m-1)^2-8m^2=m^2-6m+1>0\)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete có \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{1-3m}{m}\\ x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(d(A,Ox)=d(B,Ox)\Leftrightarrow |mx_1+2m+1|=|mx_2+2m+1|\)
TH1: \(mx_1+2m+1=mx_2+2m+1\Leftrightarrow x_1=x_2\)
\(\Rightarrow x_1=x_2=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{1-3m}{m}=2\sqrt{2}\) kéo theo \(m=\frac{1}{2\sqrt{2}+3}\) (không thỏa mãn đk của \(\Delta)\)
TH2: \(mx_1+2m+1=-(mx_2+2m+1)\Leftrightarrow m(x_1+x_2)+4m+2=0\)
\(\Leftrightarrow 3+m=0\Rightarrow m=-3\) (t/m)
Vậy $m=-3$
Gọi \(A\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);B\left(b;\frac{2b}{b-1}\right);\left(a,b\ne0;a,b\ne1;a\ne b\right)\) thuộc đồ thị (C)
Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyếb rại A; B lần lượt là :
\(k_1=-\frac{2}{\left(a-1\right)^2};k_2=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2};\)
Do các đường tiếp tuyến song song nên :
\(-\frac{2}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2};\)
\(\Leftrightarrow a+b=2\)
Mặt khác, ta có : \(\overrightarrow{OA}=\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);\overrightarrow{OB}=\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\)
Do OAB là tam giác vuông tại O nên \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\)
Ta có hệ : \(\begin{cases}a+b=2\\ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được : \(\begin{cases}a=-1\\b=3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=3\\b=-1\end{cases}\)
Vậy 2 điểm cần tìm có tọa độ là : (-1;1) và (3;3)
a) (H) có các đường tiệm cận là:
- Tiệm cận ngang y = -1
- Tiệm cận đứng x = -1
hai đường tiềm cận này cắt nhau tại điểm I(-1; -1).
Hình (H') có hai đường tiệm cận cắt nhau tại I'(2;2) nên ta cần phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow{II'}=\left(2-\left(-1\right);2-\left(-1\right)\right)=\left(3;3\right)\)
b) Hình (H') có phương trình là:
\(y+3=\dfrac{3-\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)+1}\) hay là \(y=\dfrac{-4x-12}{x+4}\)
Hình đối xứng với (H') qua gốc tọa độ có phương trình là:
\(-y=\dfrac{-4\left(-x\right)-12}{-x+4}\) hay là: \(y=\dfrac{4x-12}{-x+4}\)
Câu 1:
\(y=x^3-3x^2-2\Rightarrow y'=3x^2-6x\)
Gọi hoành độ của M là \(x_M\)
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M bằng 9 tương đương với:
\(f'(x_M)=3x_M^2-6x_M=9\)
\(\Leftrightarrow x_M=3\) hoặc $x_M=-1$
\(\Rightarrow y_M=-2\) hoặc \(y_M=-6\)
Vậy tiếp điểm có tọa độ (3;-2) hoặc (-1;-6)
Đáp án B
Câu 2:
Gọi hoành độ tiếp điểm là $x_0$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm là:
\(f'(x_0)=x_0^2-4x_0+3\)
Vì tt song song với \(y=3x-\frac{20}{3}\Rightarrow f'(x_0)=3\)
\(\Leftrightarrow x_0^2-4x_0+3=3\Leftrightarrow x_0=0; 4\)
Khi đó: PTTT là:
\(\left[{}\begin{matrix}y=3\left(x-0\right)+f\left(0\right)=3x+4\\y=3\left(x-4\right)+f\left(4\right)=3x-\dfrac{20}{3}\end{matrix}\right.\) (đt 2 loại vì trùng )
Do đó \(y=3x+4\Rightarrow \) đáp án A
Câu 3:
PT hoành độ giao điểm:
\(\frac{2x+1}{x-1}-(-x+m)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+(1-m)x+(m+1)=0\) (1)
Để 2 ĐTHS cắt nhau tại hai điểm pb thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta=(1-m)^2-4(m+1)> 0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m-3> 0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 3-2\sqrt{3}\\m>3+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với m nguyên và \(m\in (0;10)\Rightarrow m=7;8;9\)
Có 3 giá trị m thỏa mãn.
Đáp số M(1;0) 
Ai chỉ giúp em cách làm với ạ 
a: Để A là số nguyên thì \(x-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
hay \(x\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)
b: Để B là số nguyên thì \(2x-1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)
hay \(x\in\left\{1;0\right\}\)(do x là số nguyên)
c: Để C là số nguyên thì \(3x-3+10⋮x-1\)
\(\Leftrightarrow x-1\in\left\{1;-1;2;-2;5;-5;10;-10\right\}\)
hay \(x\in\left\{2;0;3;-1;6;-4;11;-9\right\}\)
d: Để D là số nguyên thì \(4x-1⋮x-3\)
\(\Leftrightarrow x-3\in\left\{1;-1;11;-11\right\}\)
hay \(x\in\left\{4;2;14;-8\right\}\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, N thì \(x_M;x_N\) là nghiệm của phương trình :
\(f'\left(x\right)=k\Leftrightarrow3x^2-6x-k=0\)
Để tồn tại hai tiếp điểm M, N thì phải có \(\Delta'>0\Leftrightarrow k>-3\)
Ta có \(y=f'\left(x\right)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-2x+2\)
Từ \(f'\left(x_M\right)=f'\left(x_N\right)=k\) suy ra phương trình đường thẳng MN là :
\(y=\left(\frac{k}{3}-2\right)x+2-\frac{k}{3}\), khi đó \(A\left(1;0\right);B\left(0;\frac{6-k}{3}\right)\)
Ta có \(AB^2=10\Leftrightarrow k=15\) (do k > -3)
Từ đó ta có 2 tiếp tuyến cần tìm là :
\(y=15x-12\sqrt{6}-15\)
\(y=15x+12\sqrt{6}-15\)