Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn cần viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn nhé.
Câu a, b thì Nguyễn Quang Duy làm đúng rồi.
c) \(a^{\dfrac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\dfrac{4}{3}}:a^{\dfrac{1}{3}}=a^{\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}}=a\)
d) \(\sqrt[3]{b}:b^{\dfrac{1}{6}}=b^{\dfrac{1}{3}}:b^{\dfrac{1}{6}}=b^{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}}=b^{\dfrac{1}{6}}\)
a)
Đặt \(\frac{x}{2}=t\Rightarrow 3^{2t}-4=5^t\)
\(\Leftrightarrow 9^t-5^t=4\)
TH1: \(t>1\Rightarrow 9^t-5^t< 4^t\)
\(\Leftrightarrow 9^t< 4^t+5^t\)
\(\Leftrightarrow 1< \left(\frac{4}{9}\right)^t+\left(\frac{5}{9}\right)^t\) \((*)\)
Ta thấy vì \(\frac{4}{9};\frac{5}{9}<1 \), do đó với \(t>1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left(\frac{4}{9}\right)^t< \frac{4}{9}\\ \left(\frac{5}{9}\right)^t< \frac{5}{9}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^t+\left(\frac{5}{9}\right)^t< \frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1\) (mâu thuẫn với (*))
TH2: \(t<1 \) tương tự TH1 ta cũng suy ra mâu thuẫn
do đó \(t=1\Rightarrow x=2\)
b)
Ta có: \(5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x\)
\(\Leftrightarrow (5^{2x}-2.5^{x}+1)=3^{2x}+2.3^x+1\)
\(\Leftrightarrow (5^x-1)^2=(3^x+1)^2\)
\(\Leftrightarrow (5^x-3^x-2)(5^x+3^x)=0\)
Dễ thấy \(5^x+3^x>0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow 5^x-3^x-2=0\)
\(\Leftrightarrow 5^x-3^x=2\)
\(\Leftrightarrow 5^x=3^x+2\)
Đến đây ta đưa về dạng giống hệt phần a, ta thu được nghiệm \(x=1\)
c)
\((2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x=4^x\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right)^x+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^x=1\)
TH1: \(x>1\)
Vì \(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}<1;x> 1 \Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x< \frac{2-\sqrt{3}}{4};\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x< \frac{2+\sqrt{3}}{4}\)
\(\Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x+\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x<\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}=1\) (vô lý)
TH2: \(x<1 \)
\(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}<1; x< 1 \Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x> \frac{2-\sqrt{3}}{4};\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x> \frac{2+\sqrt{3}}{4}\)
\(\Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x+\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x>\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}=1\) (vô lý)
Do đó \(x=1\)
5.
\(y'=1-\frac{4}{\left(x-3\right)^2}=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=2\\x-3=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1< 3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
BBT:
Từ BBT ta có \(y_{min}=y\left(5\right)=7\)
\(\Rightarrow m=7\)
3.
\(y'=-2x^2-6x+m\)
Hàm đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi \(y'\le0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=9+2m\le0\)
\(\Rightarrow m\le-\frac{9}{2}\)
4.
\(y'=x^2-mx-2m-3\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi \(y'\ge0;\forall x>-2\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx-2m-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-3\ge m\left(x+2\right)\Leftrightarrow m\le\frac{x^2-3}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{x>-2}\frac{x^2-3}{x+2}\)
Xét \(g\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x+2}\) trên \(\left(-2;+\infty\right)\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{x^2+4x+3}{\left(x+2\right)^2}=0\Rightarrow x=-1\)
\(g\left(-1\right)=-2\Rightarrow m\le-2\)
Ta xét 3 trường hợp :
* Nếu \(x>4\) thì \(x-3>1\Rightarrow\left(x-3\right)^{2010}>1\Rightarrow\left(x-3\right)^{2010}+\left(x+4\right)^{2012}>1\) mâu thuẫn.
* Nếu \(x< 3\) thì \(x-4< -1\Rightarrow\left(x-4\right)^{2010}>1\Rightarrow\left(x-3\right)^{2010}+\left(x+4\right)^{2012}>1\) mâu thuẫn.
* Nếu \(3< x< 4\) thì \(x-3>1\Rightarrow\left|x-3\right|,\left|x-4\right|\le1\Rightarrow\left(x-3\right)^{2010}< \left(x-3\right),\left(x-4\right)^{2012}\le\left(4-x\right)\)
Do đó \(\left(x-3\right)^{2010}+\left(x-4\right)^{2012}< \left(x-3\right)+\left(4-x\right)=1\) cũng mâu thuẫn
Mặt khác, với \(x=3;x=4\) thì đẳng thức đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh
