BM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 9 2018
Lời giải:
Từ \(a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c\geq \frac{ab+bc+ac}{abc}\Rightarrow abc(a+b+c)\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq (ab+bc+ac)^2(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2b^2+b^2c^2\geq 2ab^2c\)
\(b^2c^2+c^2a^2\geq 2abc^2\)
\(a^2b^2+c^2a^2\geq 2a^2bc\)
Cộng theo vế, rút gọn \(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)\)
\(\Rightarrow (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq 3abc(a+b+c)\)
\(\Rightarrow abc(a+b+c)\geq 3\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 11 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:
\(\text{VT}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+(ab+bc+ac)+\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ac}\)
\(\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+(ab+bc+ac)+\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)
\(\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{(ab+bc+ac).\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}}\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2(a+b+c)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c+(a+b+c)\)
\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}.a.b.c}+(a+b+c)=6+a+b+c\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
ND
10 tháng 8 2018
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{abc}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{abc}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{abc}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{b^2c^2}{a^2bc\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2c^2}{ab^2c\left(a+c\right)}+\dfrac{a^2b^2}{abc^2\left(a+b\right)}\)
\(Cauchy-Schwarz:\)
\(VT\ge\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{abc\left[a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)\right]}\)
\(=\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)
\(AM-GM:\)
\(ab+bc+ca\ge\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 8 2018
Lời giải khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)
\(\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{b(a+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4b^2}}=\frac{1}{b}=\frac{abc}{b}=ac\)
\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4c^2}}=\frac{1}{c}=\frac{abc}{c}=ab\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{ab+bc+ac}{2}\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\) (AM_GM)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} a^8+b^8\geq 2a^4b^4\\ b^8+c^8\geq 2b^4c^4\\ c^8+a^8\geq 2c^4a^4\end{matrix}\right.\Rightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
Tiếp tục áp dụng AM-GM:
\(a^8+b^8+a^4b^4+c^8\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{12}c^8}=4a^3b^3c^2\)
\(b^8+c^8+b^4c^4+a^8\geq 4b^3c^3a^2\)
\(c^8+a^8+c^4a^4+b^8\geq 4c^3a^3b^2\)
Cộng lại: \(3(a^8+b^8+c^8)+(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ca)\)
Mà \(a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\Rightarrow 4(a^8+b^8+c^8)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\)
hay \(a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\Rightarrow (*)\) đúng
Ta có đpcm.
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
HR
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 11 2017
Lời giải:
Ta có:
\(\sum \frac{1}{a+ab}\geq \frac{3}{abc+1}\Leftrightarrow \sum \frac{abc+1}{a(b+1)}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{b+1}+\sum\frac{1}{a(b+1)}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \sum \frac{b(c+1)}{b+1}+\sum \frac{a+1}{a(b+1)}\geq 6\)
BĐT trên luôn đúng vì theo BĐT AM-GM thì:
\(\sum \frac{b(c+1)}{b+1}+\sum \frac{a+1}{a(b+1)}=\frac{b(c+1)}{b+1}+\frac{c(a+1)}{c+1}+\frac{a(b+1)}{a+1}+\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{b+1}{b(c+1)}+\frac{c+1}{c(a+1)}\)
\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{abc(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}{abc(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}}=6\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TL
16 tháng 10 2018
Giải:
\(\dfrac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)(*)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{ac+a+ab+b+bc+c}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\) \(\ge\) \(\dfrac{3}{4}\)
Do a+1 ; b+1; c+1 >0
\(\Rightarrow\) 4ac+4a+4ab+4b+4bc+4c \(\ge\) 3abc+3ac+3bc+3ab+3a+3b+3c+3
\(\Leftrightarrow\) ac+ab+bc+a+b+c -6 \(\ge\) 0
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số
Ta có: a+b+c \(\ge\) \(3\sqrt[3]{abc}=3\)
ab+bc+ca \(\ge\) \(3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\) = 3
\(\Rightarrow\)ac+ab+bc+a+b+c -6 \(\ge\) 0 ( luôn đúng)
\(\Rightarrow\) (*) được chứng minh
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b=c=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\)
\(=\frac{a(c+1)+b(a+1)+c(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{abc+(ab+bc+ac)+(a+b+c)+1}\)
\(=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2+(a+b+c)+ab+bc+ac}\)
Ta cần chứng minh \(\text{VT}\geq \frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2+(a+b+c)+ab+bc+ac}\geq \frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4(ab+bc+ac+a+b+c)\geq 3(ab+bc+ac+a+b+c)+6\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+a+b+c\geq 6\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+a+b+c\geq 6\sqrt[6]{ab.bc.ac.a.b.c}\)
(Đúng theo BĐT Cô-si)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
HN
2
16 tháng 7 2018
a) \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{c}\)≥\(\dfrac{9}{a+b+c}\)
<=> ( \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{c}\))(a+b+c) ≥ 9
Ta có : \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{c}\) ≥ 3.căn bậc 3 1/abc(Cô-si)
a+b+c ≥ 3 căn bậc 3 abc
(1/a + 1/b + 1/c)(a+c+c) ≥ 9 căn bậc 3 abc/abc = 9
<=> 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9(a+b+c)
Dấu ''='' xảy ra khi : a=b =c
17 tháng 7 2018
Cách khác :
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
22 tháng 7 2018
Ta có BĐT : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\) ( \(a,b>0\) )
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{≥}\dfrac{4}{b+c}\left(b;c>0\right)\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\text{≥}\dfrac{4}{a+c}\left(a;c>0\right)\)
Cộng từng vế của các BĐT trên , ta có :
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{≥}\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{a+c}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{≥}\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{a+c}\)
22 tháng 7 2018
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế theo vế ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Ta có:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\ge\left(a+b+c\right).3\sqrt[3]{ab.bc.ca}-1\)
\(=3\left(a+b+c\right)-1\)
\(=\dfrac{7}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)-1\)
\(\ge\dfrac{7}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}-1\)
\(=\dfrac{7}{3}\left(a+b+c\right)+1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)