Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho \(CF=\frac{1}{2}AM\).
Ta có: \(\Delta ADM\infty\Delta CDF\)vì \(\frac{CD}{AD}=\frac{CF}{AM}=\frac{1}{2}\)và A=C=90 độ.
Suy ra: DM=2DF
ADM=CDF\(\Rightarrow\)FMD vuông \(\Rightarrow\)EDF+EDM=90 độ \(\Rightarrow\)EDF+CDE=90 độ
Mà DEF+CDE=90 độ
Suy ra: EDF=DEF\(\Rightarrow\)tam giác DEF cân tại F.\(\Rightarrow\)DF=EF
Vậy DM=2DF=2EF=2EC+2CF=2EC+AM
Lấy F trên tia đối của AB sao cho AF=CK
=>AM+CK=AM=MF 3
Xét tam giác DAF và tam giác NCN có
AF=CK(gt)
DAF=DCK(gt DK là pg)
AD=CD(gt)
=> tam giác DAF= tam giác DCK(c-g-c)
=>AFD=CKD( 2 góc t/ứng)
Mà CKD=ADK(slt)=>AFD=ADK 1
Mặt khác ADK= ADM+MDK, MDK=KDC(gt)
=>ADK=ADM+KDC=ADM+ADF 2
Từ 1 và 2=>AFD=ADM+ADF=MDF=>tam giác FMD cân tại M=>FM=MD 4
Từ 3 và 4=>AM+CK=DM
-dpcm-
A B C D M N E F K I O H
a) Ta thấy: Tam giác ABC vuông tại A; DN vuông góc AC=> DN//AB => \(\frac{DF}{FN}=\frac{BM}{AM}\)(Hệ quả của ĐL Thales) (1)
Lại có: DM vuông góc AB; ^BAC=900 => DM//AC hay EM//AN => \(\frac{BM}{AM}=\frac{BE}{EN}\)(ĐL Thales) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{DF}{FN}=\frac{BE}{EN}\)=> \(EF\)//\(BD\)(ĐL Thales đảo)
hay \(EF\)//\(BC\)(đpcm)
b) Dễdàng c/m được: Tứ giác AMDN là hình vuông => AM=MD=DN=AN
Gọi giao điểm của AE và FM là O
Ta có: \(\frac{DF}{DN}=\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{BC}\)(Hệ quả ĐL Thales) (3)
Tương tự: \(\frac{EM}{MD}=\frac{AN}{AC}=\frac{BD}{BC}\)(4)
Từ (3) và (4) => \(\frac{DF}{DN}=\frac{EM}{MD}\)Mà DN=MD => DF=EM.
Xét \(\Delta\)AME và \(\Delta\)MDF:
AM=MD
^AME=^MDF => \(\Delta\)AME=\(\Delta\)MDF (c.g.c) => ^MAE=^DMF (2 góc tương ứng)
EM=DF (cmt)
Lại có: ^MAE+^MEA=900 => ^DMF+MEA=900 hay ^EMO+^MEO=900
Xét \(\Delta\)MEO: ^EMO+^MEO=900 =. \(\Delta\)MEO vuông tại O => FM vuông góc với AE
Tương tự ta c/m được EN vuông góc với AF
=> FM và EN là 2 đường cao của tam giác AEF. mà 2 đoạn này cắt nhau tại K
Vậy K là trực tâm tam giác AEF (đpcm).
c) Gọi BI giao AD tại H
K là trực tâm tam giác AEF (cmt) => AK vuông góc EF .Mà EF//BC (cmt) => AK vuông góc với BC
hay AK vuông góc với BD
Xét tam giác BAD:
AK vuông góc BD
DM vuông góc AB => I là trực tâm tam giác BAD
AK cắt DM tại I
=> BI vuông góc AD => IH vuông góc với AD.
Lại có ^HDI=^ADM=450 => Tam giác IHD vuông cân tại H
=> ^HID = 450 => ^BID=1350.
Vậy ^BID=1350.
lưu ý : do DM/DN + DM/DK =1 nên DM<DN , DM <DK
b) theo câu a to có: DM^2 =MN.MK=>DM/MN=MK/DM => DM/(DM+MN) =MK/(MK+DM) => DM/DN =MK/DK =>DM/DN + DM/DK =MK/DK + DM/DK =>DM/DN + DM/Dk =(MK+DM)/DK=DK/DK = 1 (đpcm) A B C D M N K a) do AB//CD (tgABCD là hbh)nên tg AMN đ.dạng vs tgCMD =>MN/DM =AM/CM (1) mặt khác: AD//BC( tgABCD là hbh)=>tg AMD đ.dạng vs tgCMK (T.Lét) (T.Lét) =>DM/MK =AM/CM (2) từ (1) và (2) =>MN/DM=DM/MK=>DM^2 =MN.MK
a) Ta có AB // CD (ABCD hbh) -> AMN đồng dạng CMD (talet)
-> \(\frac{MN}{DM}=\frac{AM}{CM}\)(1)
Lại có AD // BC (ABCD hbh) -> AMD đồng dạng CKM (talet)
-> \(\frac{DM}{MK}=\frac{AM}{CM}\)(2)
(1) (2) -> \(\frac{MN}{DM}=\frac{DM}{MK}=DM^2=MK.MN\)
b) Ta có \(\frac{DM}{MK}=\frac{MK}{DM}\left(cma\right)\)
\(\Rightarrow\frac{DM}{DM+MN}=\frac{MK}{MK+DM}\)
\(\Rightarrow\frac{DM}{DN}=\frac{MK}{DK}\)
\(\Rightarrow\frac{DM}{DN}+\frac{DM}{DK}=\frac{MK}{DK}+\frac{DM}{DK}\)
\(\frac{DM}{DN}+\frac{DM}{DK}=\frac{MK+DM}{DK}=\frac{DK}{DK}=1\left(đpcm\right)\)