Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \((1-a)(1-b)(1-c)\geq 0\)
\(\Rightarrow 1-abc+(ab+bc+ca)-(a+b+c)\geq 0\)
\(\Rightarrow 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+b+c)-(ab+bc+ca)\leq 1\)
Vì \(a;b;c\in \left [ 0;1 \right ]\) nên \(b^{2}\leq b;c^{3}\leq c\)
\(\Rightarrow a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq a+b+c-(ab+bc+ca)\leq 1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(b=c=1\) và \(a=0\)
cho a,b,c thuộc [0;1]. cmr $a+b^{2}+c^{3}+ab+bc+ca \leq 1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)+\frac{1}{4}\left(b+c\right)+\frac{1}{4}\left(c+a\right)\)
\(=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
a+b+c=0=>(a+b+c)^2=0
=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0
=>2(ab+bc+ca)=-(a^2+b^2+c^2)
Ma a^2+b^2+c^2 > hoac = 0 => -(a^2+b^2+c^2)< hoac = 0
Do do : 2(ab+bc+ca) < hoac = 0
=>ab+bc+ca <hoac = 0
ta có a > 0 → b + c < 1
→ 4bc < (b + c)² < 1
→ bc < 1\4
tương tự với ab, ac là => dpcm
ta có a > 0 → b + c < 1
→ 4bc < (b + c)² < 1
→ bc < 1\4
tương tự với ab, ac là => dpcm
Áp dụng BĐT Cô si với a,b,c>0 ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2\sqrt{c^2}=2c\)
Tương tự \(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Ta có BĐT sau:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
CM: \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (*)
=> BĐT (*) LUÔN ĐÚNG !!!!
=> \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)
=> \(3\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
=> \(ab+bc+ca\le0\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+ca\right)=0\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le0\left(đpcm\right)\)