Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em làm cô vui lòng xem giúp em ạ
Có: \(x,y,z>0\)
Nên: \(7^y>1\)
Mà \(7^y+2^z=2^x+1\)(1)
\(\Leftrightarrow2^x>2^z\Rightarrow x>z\)
Xét TH1: y lẻ
Có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow2^x-2^z=7^y-1\)
\(\Leftrightarrow2^z\left(2^{x-z}-1\right)=7^y-1\)
Có: y lẻ nên: \(7^y-1=\left(7-1\right)\cdot A=6A⋮6\)
\(\Leftrightarrow7^y-1\equiv2\)(mod 4)
Vì thế: \(2^z=2\)\(\Rightarrow z=1\)(vì với z>1 thì \(2^z\equiv0\)(mod 4)
Thay vào PT: \(2^x-2=7^y-1\)
\(\Leftrightarrow2^x=7^y+1\)
\(\Leftrightarrow2^x=\left(7+1\right)\left(7^{y-1}-7^{y-2}+...-7+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2^x=8\left(7^{y-1}-7^{y-2}+...-7+1\right)=8B\)
Vì B lẻ nên: \(2^x=8\)\(\Rightarrow x=3\)\(\Rightarrow y=1\)
Được: \(\left(x;y;z\right)=\left(3;1;1\right)\)
TH2: Khi y chẵn:
\(2^z\left(2^{x-z}-1\right)=7^y-1\)
Vì y chẵn nên:
\(2^z\left(2^{x-z}-1\right)=\left(7+1\right)\left(7-1\right)C=48C=16\cdot3C\)
Vì: \(2^{x-z}-1\equiv1\)(mod 2)
Nên: \(2^z=16\Rightarrow z=4\)
Thế vào:
\(2^x+1=7^y+16\)
\(\Leftrightarrow2^x=7^y+15\)
\(\Leftrightarrow2^x=7^y+7+8\)
\(\Leftrightarrow2^x=7\left(7^{y-1}+1\right)+8\)
\(\Leftrightarrow2^x=7\cdot8\cdot\left(7^{y-2}-7^{y-3}+...-7+1\right)+8\)
\(\Leftrightarrow2^x=8\left(7^{y-1}-7^{y-2}+...-7^2+7+1\right)=8S\)
Vì S chia hết cho 8
nên: \(2^x=64P\Rightarrow2^x=64\Rightarrow x=6\)
\(\Rightarrow y=2\)
Vì thế: \(\left(x;y;z\right)=\left(6;2;4\right)\)
Vậy: \(\left(x;y;z\right)=\left(6;2;4\right);\left(3;1;1\right)\)
a, \(\frac{xy}{2y+4x}=\frac{yz}{4z+6y}=\frac{zx}{6x+2z}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2^2+4^2+6^2}\) (2)
Xét \(x=0\Rightarrow y=z=0\Rightarrow2y+4z=0\) (vô lí)
\(\Rightarrow x\ne0;y\ne0;z\ne0\)
Khi đó từ (2) \(\Rightarrow\frac{2y+4x}{xy}=\frac{4z+6y}{yz}=\frac{6x+2z}{zx}=\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{x}+\frac{4}{y}=\frac{4}{y}+\frac{6}{z}=\frac{6}{z}+\frac{2}{x}=\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{x}=\frac{4}{y}=\frac{6}{z}\) và \(\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}=2.\frac{2}{x}\)
Đặt \(\frac{2}{x}=\frac{4}{y}=\frac{6}{z}=\frac{1}{k}\left(k\ne0\right)\)thì \(\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{k}\)
\(\Rightarrow x=2k;y=4k;z=6k\)và \(x^2+y^2+z^2=28k\) (3)
\(thay\) \(x=2k;y=4k;z=6k\)vào (3) ta được :
\(\left(2k\right)^2+\left(4k\right)^2+\left(6k\right)^2=28k\)
\(56k^2-28k=0\)
\(56k.\left(2k-1\right)=0\)
\(\Rightarrow k=0\)(loại)
Hoặc \(k=\frac{1}{2}\)( thỏa mãn)
Với \(k=\frac{1}{2}\)thì tìm được \(x=1;y=2;z=3\)
Vậy \(x=1;y=2;z=3\)
Ta có :
\(|x-y|+|y-z|+|z-x|=2019\)
\(\Rightarrow|x-y|+\left(x-y\right)+|y-z|+\left(y-z\right)+|z-x|+\left(z-x\right)=2019\)
Nhận xét :
\(|a|+a=0\)với \(a\le0\)
\(|a|+a=2a\)với \(a\ge0\)
\(\Rightarrow|a|+a\)luôn chẵn với \(\forall a\)
\(\Rightarrow|x-y|+\left(x-y\right)+|y-z|+\left(y-z\right)+|z-x|+\left(z-x\right)\)luôn chẵn với \(\forall x,y,z\)
mà \(2019\)lẻ
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
Giả sử tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn đề bài.
Ta có tính chất sau: với các số nguyên a,b,c bất kì, thì hai tổng a+b+c và |a|+|b|+|c| luôn có cùng tính chẵn lẻ.
Do đó, \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn có cùng tính chẵn lẻ với \(x-3y+y-5z+z-7x\)
Mà \(x-3y+y-5z+z-7x=-6x-2y-4z=2.\left(-3x-y-2z\right)\) luôn chẵn với mọi số tự nhiên x,y,z
=>\(\) \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn chẵn
Theo giả thiết:
\(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|=9^{x}+11^{y}+13^{z}\)
Do vế trái chẵn theo chứng minh trên, ta suy ra \(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) cũng là số chẵn (1).
Mà 9, 11, 13 là các số tự nhiên lẻ, nên \(9^{x};11^{y};13^{z}\) cũng là các số tự nhiên lẻ
=>\(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) có kết quả là 1 số lẻ (mâu thuẫn với (1))
Vậy điều giả sử là sai, hay ko tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn yêu cầu
Đề bài:
Tồn tại hay không các số tự nhiên \(x , y , z\) sao cho
\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)
Phân tích:
- \(x , y , z \in \mathbb{N}\) (số tự nhiên, tức là \(0 , 1 , 2 , 3 , \ldots\)).
- Vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối, mỗi giá trị tuyệt đối có giá trị không âm và tương đối nhỏ nếu \(x , y , z\) nhỏ.
- Vế phải là tổng các số mũ với cơ số lớn (9, 11, 13) và lũy thừa theo \(x , y , z\), sẽ tăng rất nhanh khi \(x , y , z\)tăng.
Bước 1: So sánh quy mô 2 vế
- Vế trái:
\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid \leq \mid x \mid + 3 \mid y \mid + \mid y \mid + 5 \mid z \mid + \mid z \mid + 7 \mid x \mid = 8 \mid x \mid + 4 \mid y \mid + 6 \mid z \mid\)
Tức là vế trái lớn nhất cũng chỉ là một số bậc nhất theo \(x , y , z\).
- Vế phải:
\(9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)
Là hàm số mũ tăng cực nhanh khi \(x , y , z\) tăng.
Bước 2: Kiểm tra trường hợp nhỏ
Thử với \(x = y = z = 0\):
\(\mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid = 0\)\(9^{0} + 11^{0} + 13^{0} = 1 + 1 + 1 = 3\)
Không thỏa.
Thử \(x = y = z = 1\):
\(\mid 1 - 3 \mid + \mid 1 - 5 \mid + \mid 1 - 7 \mid = 2 + 4 + 6 = 12\)\(9^{1} + 11^{1} + 13^{1} = 9 + 11 + 13 = 33\)
Không thỏa.
Thử \(x = y = z = 2\):
Vế trái:
\(\mid 2 - 6 \mid + \mid 2 - 10 \mid + \mid 2 - 14 \mid = 4 + 8 + 12 = 24\)
Vế phải:
\(9^{2} + 11^{2} + 13^{2} = 81 + 121 + 169 = 371\)
Không thỏa.
Bước 3: Nhận xét
- Vế phải tăng nhanh hơn vế trái rất nhiều.
- Vì vế trái là hàm tuyến tính (hoặc độ lớn nhất bậc 1), còn vế phải là hàm mũ, nên với \(x , y , z\) lớn, vế phải rất lớn và vế trái rất nhỏ so với vế phải.
Bước 4: Trường hợp vế phải nhỏ nhất
Để vế phải nhỏ nhất, cần \(x = y = z = 0\) (hoặc giá trị nhỏ nhất). Với các giá trị nhỏ đã thử thì không thỏa.
Kết luận:
Không tồn tại các số tự nhiên \(x , y , z\) để
\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)
\(\Rightarrow3+\frac{y+z-2x}{x}=3+\frac{x+z-2y}{y}=3+\frac{x+y-2z}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{x}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{z}\)
\(TH1:x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x=-\left(y+z\right),y=-\left(x+z\right),z=-\left(x+y\right)\)
\(A=\left(1+\frac{-y-z}{y}\right).\left(1+\frac{-x-z}{z}\right).\left(1+\frac{-x-y}{x}\right)\)
\(A=-\left(\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}\right)=-1\)
\(TH2:x+y+z\ne0\)
\(\Rightarrow x=y=z\Rightarrow A=2^3=8\)
sai đề ròi: tớ làm 2 trường hợp luôn vì trường hợp x+y+z khác 0 thì A mới t/m thuộc N
mà đề là x+y+z khác 0 -.-
Ba số x, y, z thỏa mãn :\(\frac{6}{11}x=\frac{9}{2}y=\frac{18}{5}z\) và -x + y + z = -120
Hỏi x+y+z=?
Ta có:
1024=2x+2y+2z≤2z+2z+2z⇒2z>341⇒z>8(1)1024=2x+2y+2z≤2z+2z+2z⇒2z>341⇒z>8(1)
1024=2x+2y+2z>2z⇒z<10(2)1024=2x+2y+2z>2z⇒z<10(2)
Từ (1) và (2) suy ra 8<z<108<z<10.
Mà zz là số tự nhiên nên z=9z=9.
⇒2x+2y=512⇒2x+2y=512
Ta lại có : 512=2x+2y≤2y+2y=2.2y⇒2y≥216⇒y≥8512=2x+2y≤2y+2y=2.2y⇒2y≥216⇒y≥8
Mà 512=2x+2y>2y⇒y<9512=2x+2y>2y⇒y<9.
Từ hai điều trên ⇒y=8⇒2x=216⇒x=8⇒y=8⇒2x=216⇒x=8.
Vậy x=y=8,z=9x=y=8,z=9.
1024=2x+2y+2z≤2z+2z+2z⇒2z>341⇒z>8(1)1024=2x+2y+2z≤2z+2z+2z⇒2z>341⇒z>8(1)
1024=2x+2y+2z>2z⇒z<10(2)1024=2x+2y+2z>2z⇒z<10(2)
Từ (1) và (2) suy ra 8<z<108<z<10.
Mà zz là số tự nhiên nên z=9z=9.
⇒2x+2y=512⇒2x+2y=512
Ta lại có : 512=2x+2y≤2y+2y=2.2y⇒2y≥216⇒y≥8512=2x+2y≤2y+2y=2.2y⇒2y≥216⇒y≥8
Mà 512=2x+2y>2y⇒y<9512=2x+2y>2y⇒y<9.