Câu hỏi của Nhok Lạnh Lùng 2k6

Question

Bài 1; Tìm số tự nhiên n ,sao cho:

$\left(n.2^n+1\right)⋮3$

Trịnh Sảng và Dương Dương · Accepted Answer

Bài 1:

Ta xét 3 trường hợp :

TH1:

Nếu $n=3k$( Với $k\in N$) thì $n.2^n⋮3$

$\Rightarrow n.2^n+1$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow$Loại

TH2:

Nếu $n=3k+1$ ( Với $k\in N$) thì $n.2^n+1=\left(3k+2\right).2^{3k+1}+1$

$=3k.2^{3k+1}+2^{3k+1}+1$

$=3k.2^{3k+1}+2.8^k+1$

Do đó : $n.2^n+1⋮3\Leftrightarrow\left(2.8^k+1\right)⋮3$

Vì $8\equiv-1$ ( mod 3 ) nên $8^k\equiv\left(-1\right)$ ( mod 3)

Suy ra : $2.8^k+1⋮3\Leftrightarrow2.\left(-1\right)^k+1\equiv0$ ( mod 3 )

$\Leftrightarrow k$ chẵn $\Leftrightarrow k=2m$ ( Với $m\in N$0

Do đó : $n=6m+1$, với $m\in N$

TH3:

Nếu $n=3k+2$ ( với $k\in N$) thì $n.2^n+1=\left(3k+2\right).2^{3k+2}+1$

$=3k.2^{3k+2}+2.2^{3k+2}=3k.2^{3k+2}+8^{k+1}+1$

Do đó : $\left(n.2^n+1\right)⋮3\Leftrightarrow\left(8^{k+1}+1\right)⋮3$

Vì $8\equiv-1$( mod 3 ) nên $8^{k+1}\equiv\left(-1\right)^{k+1}$( mod 3)

Suy ra : $\left(8^{k+1}+1\right)⋮3\Leftrightarrow\left(-1\right)^{k+1}+1\equiv0$( mod 3)

$\Leftrightarrow k+1$lẻ $\Leftrightarrow k$chẵn $\Leftrightarrow k=2m$( Với $m\in N$)

Do đó :$n=6m+2$, với $m\in N$

Vậy điều kiện cần tìm của m là $m\equiv1$( mod 6) hoặc $m\equiv2$( mod 6)

Chúc bạn học tốt ( -_- )

Câu trả lời:

Bài 1:

Ta xét 3 trường hợp :

TH1:

Nếu $n=3k$( Với $k\in N$) thì $n.2^n⋮3$

$\Rightarrow n.2^n+1$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow$Loại

TH2:

Nếu $n=3k+1$ ( Với $k\in N$) thì $n.2^n+1=\left(3k+2\right).2^{3k+1}+1$

$=3k.2^{3k+1}+2^{3k+1}+1$

$=3k.2^{3k+1}+2.8^k+1$

Do đó : $n.2^n+1⋮3\Leftrightarrow\left(2.8^k+1\right)⋮3$

Vì $8\equiv-1$ ( mod 3 ) nên $8^k\equiv\left(-1\right)$ ( mod 3)

Suy ra : $2.8^k+1⋮3\Leftrightarrow2.\left(-1\right)^k+1\equiv0$ ( mod 3 )

$\Leftrightarrow k$ chẵn $\Leftrightarrow k=2m$ ( Với $m\in N$0

Do đó : $n=6m+1$, với $m\in N$

TH3:

Nếu $n=3k+2$ ( với $k\in N$) thì $n.2^n+1=\left(3k+2\right).2^{3k+2}+1$

$=3k.2^{3k+2}+2.2^{3k+2}=3k.2^{3k+2}+8^{k+1}+1$

Do đó : $\left(n.2^n+1\right)⋮3\Leftrightarrow\left(8^{k+1}+1\right)⋮3$

Vì $8\equiv-1$( mod 3 ) nên $8^{k+1}\equiv\left(-1\right)^{k+1}$( mod 3)

Suy ra : $\left(8^{k+1}+1\right)⋮3\Leftrightarrow\left(-1\right)^{k+1}+1\equiv0$( mod 3)

$\Leftrightarrow k+1$lẻ $\Leftrightarrow k$chẵn $\Leftrightarrow k=2m$( Với $m\in N$)

Do đó :$n=6m+2$, với $m\in N$

Vậy điều kiện cần tìm của m là $m\equiv1$( mod 6) hoặc $m\equiv2$( mod 6)

Chúc bạn học tốt ( -_- )

Kiệt Nguyễn · Answer

Giải

* Xét 3 trường hợp :

* Trường hợp 1 : n = 3k

$\Rightarrow\left(3k\times2^{3k}+1\right)⋮3$

$\Rightarrow\left(3k+8^k+1\right)⋮3$

Vì $8^k$không chia hết cho 3 nên loại trường 1

*Trường hợp 2 : n = 3k + 1

$\Rightarrow\left[\left(3k+1\right)2^{3k+1}+1\right]⋮3$

$\Rightarrow\left[\left(3k+1\right)2^{3k}.2+1\right]⋮3$

$\Rightarrow\left[\left(3k+1\right)8^k.2+1\right]⋮3$

$\Rightarrow\left(24k^k+8^k\right).2+1⋮3$

Mà 1 không chia hết cho 3 nên loại trường hợp 2

Vậy n = 3k + 2